Т.Г. Трофимова, В.И. Чернов

Решение проблемы оптимальной характеристики биологической системы, информация о функционировании которой представлена в виде массива чисел

x₁, x₂,..., x_n

возможно лишь в случае выбора математического аппарата, наиболее адекватным образом описывающего зарегистрированные данные. Решение этой задачи подразумевает возможность классификации биокибернетических систем, которая базируется на особенностях полученной о них исходной информации.
В основу классификации биокибернетических систем можно положить количественные оценки таких их важных свойств, как сложность и уровень относительной организации. Первая попытка классификации подобного рода применительно к экономическим системам была предпринята С.Биром, который разделил их на простые, сложные, очень сложные, детерминированные и вероятностные, что в сочетании дает шесть классов систем [1].
Идентификация по сложности проводится по численному значению максимальной сложности системы:

,

где m - количество возможных состояний, принимаемых системой.

При этом система: <

• принимающая до 8 состояний оценивается как простая,
• до 128 состояний - как сложная,
• более 128 состояний - как очень сложная.

Величину  принимают за максимально возможную неопределенность при расчетах уровня организации.
Если существует возможность вычисления вероятностей каждого из состояний системы - p_i, то неопределеность функционирования системы (в данном случае биологической) вычисляется следующим образом:

Далее рассчитываются значение относительной организации:

По оценке относительной организации все системы можно также разделить на 3 группы.

Если , то биосистему можно считать вероятностной, обладающей малой жесткостью, способной гибко изменять закон распределения своих состояний. К вероятностным биологическим системам можно отнести биосистемы целостного организма, определенные условно-рефлекторные акты, поведенческие реакции, взаимодействие анализаторных систем, сложные взаимодействия организма с окружающей средой.

Если , то биологическую систему можно отнести к детерминированным по данному показателю. Как показал опыт моделирования, к таким системам можно отнести биосистемы управления внутренними органами, системы поддержания постоянства параметров внутренней сферы, у которых преимущественной значение имеет гуморальная компонента управления.
Между этими двумя типами биологических систем, демонстрирующими детерминизм и вероятность в чистом виде, лежит большая группа биосистем, совмещающая оба эти свойства. Анализ показателя, по которому оценивают функционирование таких систем дает оценку относительной организации, лежащую в пределах: .

Такие системы могут быть названы вероятностно-детерминированными или квазидетерминированными. Примером квазидетерминированных систем являются системы управления показателями внутренней сферы с явно выраженной нервной компонентой регуляции. Кроме того, биосистемы, которые идентифицированы в норме как детерминированные, при патологии могут быть идентифицированы как квазидетерминированные и наоборот.

Граница между этими тремя группами не является жесткой применительно к самим биосистемам, т.к. значение уровня относительной организации может изменяться в зависимости от внутреннего состояния биосистемы и воздействуюших на нее внешних сигналов.

Сложность и уровень относительной организации не связаны между собой линейно. Учитывая их независимость и то, что они характеризуют разные стороны биосистемы (H_mах - число состояний, а R - организацию принятия системой этих состояний), их можно использовать для построения классификационной диаграммы [2] (рис.1).

• 11 - Простая детерминированная;
• 12 - Простая вероятностно-детерминированная;
• 13 - Простая вероятностная;
• 21 - Сложная детерминированная;
• 22 - Сложная вероятностно-детерминированная;
• 23 - Сложная вероятностная;
• 31 - Очень сложная детерминированная;
• 32- Очень сложная вероятностно-детерминированная;
• 33- Очень сложная вероятностная.

Следует отметить, что детерминированные системы любого уровня сложности можно разделить на статические и динамические, а вероятностные - на стационарные и нестационарные.

Чтобы провести идентификацию детерминированной биосистемы по свойству статичности или динамичности, необходимо рассмотреть средние арифметические значения состояний системы для различных моментов времени:

Далее вычисляется среднее арифметическое значение этих величин , назначается точность и строится интервал:

Если все  укладываются в этот интервал, то биосистема может считаться статической, иначе - динамической.
Весьма важной задачей является выбор интервала времени, на котором проводится решение задачи идентификации свойств статичности и динамичности. Если биосистема идентифицируется на мелких интервалах времени t как статическая, то при увеличении длительности интервалов результат не изменится. Если же проводить идентификацию, начиная с более крупных интервалов, то свойство статичности может при разбиении интервалов перейти в свойство динамичности.
Пусть по оценке относительной организации биологическая система идентифицирована как вероятностная. Тогда следующим этапом идентификации ее свойств является проверка на стационарность. Обычно о состоянии стационарности или нестационарности биологических систем судят по изменению во времени таких ее характеристик, как математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
Вычислим для разных моментов времени значения и  и исследуем их изменение во времени.
Подставим в формулу для вычисления дисперсии величины

и вычислим, используя эти значения:

Эти величины являются границами среднего квадратического отклонения. Если все значения s_i укладываются в интервал [s₁ ;s₂], то биосистема считается стационарной, в противном случае - нестационарной, даже если величины не изменяются во времени.
Определение класса биосистемы в первую очередь необходимо для выбора адекватного математического аппарата, на базе которого строится математическая модель биологической системы. Идентификация общих свойств биосистемы по исследуемым показателям позволяет сориентировать исследователя на тот раздел математики, который целесообразно использовать для описания функционирования биосистемы.
Различные биосистемы, обладающие детерминированными свойствами, обычно описываются с помощью дифференциальных и интегральных уравнений, аппарата линейной и нелинейной алгебры, понятий теории автоматического управления. При этом к исследованию статических режимов детерминированных систем наиболее применимы методы алгебры. Динамика детерминированных биосистем достаточно адекватно отображается дифференциальными и интегральными уравнениями, независимой переменной в которых является время. В некоторых случаях для описания динамики детерминированых биосистем можно использовать алгебраические полиномы, вводя в них время в качестве аргумента.
Для описания функционирования вероятностных биосистем адекватным математическим аппаратом моделирования служит теория вероятностей, теория марковских и случайных процессов, теория детерминированных и случайных аппаратов с детерминированными и случайными средами, алгебраические и дифференциальные уравнения для описания вероятностей и законов распределения, теория информации. Стационарные режимы вероятностных биосистем исследуются с помощью алгебраических выражений, определяющих законы распределений, коэффициенты авто- и взаимокорреляции, энтропийные оценки сложности и организации. Исследование нестационарных вероятностных биосистем обычно проводятся с помощью теории случайных процессов, вычисление авто- и кросскорреляционных функций, теории марковских процессов и массового обслуживания, теории автоматов.
Необходимо отметить, что для очень сложных вероятностных и вероятностно-детерминированных биосистем можно предложить только энтропийные оценки сложности и организации.
Таким образом, анализ экспериментальных данных позволяет вывить свойства биосистем, а в зависимости от свойств в дальнейшем для синтеза математической модели биосистемы производится выбор адекватного математического аппарата. Тем самым задача идентификации математического аппарата исследования биосистемы решается самой биосистемой и не зависит от исследователя.
На рис.2 представлена схема, использование которой можно рекомендовать перед началом проведения математической обработки зарегистрированных параметров исследуемой биологической системы.