| Дальше
|
Назад
|
Начало
|
Конец
|
Список
|
2.4.3. Модель авторегрессии
В авторегрессионной модели порядка
p любое текущее значение процесса yt выражается как конечная линейная совокупность p предыдущих значений процесса и импульса at (уровни ряда регрессируют на своих предыдущих значениях):yt
= j 1 yt-1 + j 2 yt-2 + ... + j p yt-p + atгде
yt = xt - m . Эта модель содержит p + 2 неизвестных параметра: коэффициенты многочлена j 1, ... , j p, "средний уровень" процесса m и дисперсию sa2 белого шума, которые на практике следует оценить по наблюдениям.Процесс
j
(B) = 1 - j 1 B - j 2 B2 - ... - j p Bp ,где В - оператор сдвига назад;
B yt = yt -1, лежат внутри единичного круга |y| < 1. При слабых дополнительных предположениях стационарный процесс удовлетворяет уравнению авторегрессии бесконечного порядка, с достаточно быстро убывающими коэффициентами.Модель АР(1) при положительном коэффициенте автокорреляции представляет собой колебательный процесс с преобладанием длинных волн: в спектре подобного процесса присутствует подъем в области низких частот. Если коэффициент автокорреляции отрицателен, процесс является сильно осциллирующим, т.е. в спектре имеются пики в области высоких частот.
Модель АР(2) ведет себя по-разному в зависимости от того, являются ли корни соответствующего полинома действительными или мнимыми. В случае мнимых корней мы получим колебательный процесс с ярко выраженным периодом, а спектр модели будет содержит пик на соответствующей частоте. Неплохой пример подобного процесса - это колебания маятника под действием случайных возмущений. В случае действительных корней процесс АР(2) похож на процесс АР(1).
Например, для ряда NCAL можно предложить гипотетические модели АР(1) -
x
t = 2.086 + 0.3642 (xt -1 - 2.086)и АР(2) -
x
t = 2.106 + 0.4805 (xt -1 - 2.106) - 0.3239 (xt -2 - 2.106),а для ряда СКОРОСТЬ - модель АР(1):
x
t = 4.924 + 0.5946 (xt -1 - 4.924).Все коэффициенты моделей являются значимыми по
t-критерию, в отличие от моделей более высокого порядка разности (например, АР(3) для ряда NCAL).Основные характеристики моделей представлены в табл. 2.4.
Таблица 2.4
Критерии качества полученных моделей авторегрессии
|
Характеристика |
Ряд/модель |
||
|
NCAL |
NCAL |
СКОРОСТЬ |
|
|
Скорректированный коэффициент детерминации Среднее ряда остатков Стандартная ошибка ряда остатковСтатистика Дарбина-Уотсона Тест c-квадрат на "белый шум" |
0.1170 0.005529 2.7142 1.760 139.8 |
0.2022 -0.002817 2.5798 2.104 57.65 |
0.3496 0.000063 1.7145 2.396 172.3 |
Очевидно, что модель АР(2) для ряда NCAL имеет существенно лучшие характеристики в смысле ряда остатков, чем модель АР(1). График прогнозируемой кривой для последних четырех сезонов (24 точки) представлен на рис. 2.22. Теоретический нормированный спектр модели авторегресии второго порядка, приведенный на рис.
2.23, показывает, что дисперсия ряда обусловлена в основном частотами, близкими к 1/6, что соответствует одному пику в сезон.
Модель авторегресии ряда СКОРОСТЬ имеет существенно худшие внутренние показатели, поскольку сам ряд в большей мере имеет нестационарный характер.
| Дальше
|
Назад
|
Начало
|
Конец
|
Список
|