| Дальше
|
Назад
|
Начало
|
Конец
|
Список
|
3.1.3. Восстановление функций тренда в классе полиномов
Определим структуру, в которой каждое подмножество
Sp состоит из набора полиномов со степенью, не превосходящей р. Такое упорядочение полиномов по числу членов разложения ряда, составленного из элементов1, t, t2, t3, ..., tk, ..., tp,
расположенных в порядке возрастания степени
k, является "естественным" (но не единственным).На каждом
k-м уровне структуры в качестве функции j (t) берется алгебраический полином степени k, который представляется в виде
где
aj - коэффициенты разложения; Qj(t) - полином Чебышева степени j, значения которого вычисляются по реккурентной формуле (Справочник по типовым ..., 1980)Qj
(t) = 2 t Qj - 1(t) - Qj - 2(t), Q0(t) = 1, Q1(t) = t.Выражение алгебраического полинома через полиномы Чебышева эффективно с точки зрения построения вычислительных процедур. При таком представлении функционал среднеквадратичной ошибки имеет вид:
Вектор коэффициентов разложения функции регрессии по полиномам Чебышева
a* = (a0, a1, ..., ak) , соответствующий минимуму D (a) находится путем решения нормальной системы линейных алгебраических уравненийa*
= ( Фт Ф )-1 Фт y ,где
y - вектор экспериментальных значений исследуемой зависимости; Ф = |Qj (ti)/s i2| - матрица размера n(k+1) значений полиномов Чебышева в моменты времени ti. Оценка качества приближения функции регресcии, зависящая от степени полинома k и справедливая для любой случайной выборки, вычисляется по формуле
где (1 - h ) - вероятность, с которой справедлива эта оценка (Алгоритмы и программы ..., 1984) .
Процедура структурной идентификации заключается в построении полиномов различных степеней (т.е. последовательный перебор элементов структуры
Sk), нахождении для каждой степени минимума функционала среднеквадратичной ошибки и в выборе из них полинома, для которого критерий I(k) принимает наименьшее значение, что соответствует гарантированному минимуму функционала среднего риска.Рассмотрим примеры интерполяции временных рядов полиномами, приняв значения ошибки измерения во всех точках
= 1, а h
= 0.95. На рис. 3.1 представлены графики изменения ошибки интерполяции D
(a*) и функционала качества приближения I(k) с увеличением степени полинома k для средней скорости северного ветра CКОРОСТЬ.
Очевидно, что минимум среднего риска приходится на полином с
k = 7, имеющий следующее уравнение восстановленной эмпирической зависимости:Y
(t) = 2.72 + 0.32 t - 0.014 t2 + 0.000245 t3 - 2.01× 10-6 t4 ++ 8.35× 10-9 t5 - 1.71× 10-11 t6 + 1.38× 10-14 t7
cо средним квадратом разности
yрас и yфакт D (a*) = 2.23 и критерием среднего риска I(7) = 3.425. График полученной модели представлен на рис. 3.2.
Аналогичная модель временного ряда NH
4+ (модель R2) при степени полинома k = 9, полученная при экстремальных значениях ошибки D (a*) = 2601.9 и критерия I(9) = 5476.4, представлена на графике рис. 3.3.
| Дальше
|
Назад
|
Начало
|
Конец
|
Список
|