Глава 4. Kритерии гидробиологического анализа : Индексы сходства проб

Дальше

Назад

Начало

Конец

Список

4.7. Оценка видового сходства биоценозов

Типы мер сходства

Индексы видового сходства имеют принципиальное отличие от всех ранее рассмотренных индексов тем, что вычисленные значения сравниваются не с некоторой эталонной шкалой "грязности", "разнообразия", сапробности и проч., а определяют взаимную упорядоченность объектов (проб, описаний, видовых списков биоценозов) друг относительно друга.

Существует несколько классификаций методов расчета индексов связи [Sokal, Sneath, 1963; Goodall, 1973; Василевич, 1969; Миркин, Розенберг, 1978; Сёмкин, 1979 и др.]. Так, Р. Сокал и П. Снит различали три типа мер сходства:

меры ассоциации, выражающие различные отношения числа совпадающих признаков к общему их числу, и близкие им коэффициенты сопряженности (квантифицированные коэффициенты связи);

выборочные коэффициенты связи типа корреляции (нормированные "косинусные" меры);

показатели расстояния в метрическом пространстве.

Современные исследователи [Гайдышев, 2001] уменьшают это количество типов до двух, полагая ассоциациативные меры естественным распространением "косинусных" мер на номинальные шкалы.

Б.М. Миркин с соавторами [1989] выделяют также следующие типы: вероятностные меры, информационные меры и преобразованные показатели. Однако все меры являются в какой-то степени вероятностными (поскольку оценивается вероятность того, что сравниваемые объекты будут идентичными) и представляют собой некоторые алгебраические выражения (или "преобразования" по Миркину).

Выражений для мер близости или расстояния между объектами существует великое множество: уже на начало 70-х годов в своем обзоре Д. Гудол [Goodall, 1973] перечисляет около 40 коэффициентов подобия. Приводить в полном объеме конкретные формулы или хронологию их создания вряд ли целесообразно, поэтому мы остановимся на некоторых индексах, традиционно употребляемых в геоботанике и гидробиологии (хотя и их набралось немалое количество).

"Самое целесообразное, - как говаривал Н.В. Тимофеев-Ресовский, - не писать того, что все равно лучше напишут немцы…", т.е. библиографию и историю вопроса [Шноль, 2001].

Д. Гудол замечал, что “...выбор лучшего индекса – дело вкуса”. Правда, один из авторов [Розенберг, 1984] полагает, что " вкус" должен диктоваться точными знаниями о возможностях того или иного показателя и целями, стоящими перед исследователем. Но…

Мем № 24: “Выбор конкретных коэффициентов зависит в первую очередь от цели исследования. А поскольку формальных правил для выбора целей нет, следовательно, не может быть и формальных правил для выбора подходящей меры сходства” В.Л. Андреев [1979б].

Меры ассоциации

Большинство выражений для индексов сходства основаны на общих положениях теории множеств, которые могут быть интерпретированы в виде диаграммы Венна (см. рис. 4.6). При использовании конкретных выражений для коэффициентов подобия в формулы могут подставляться мощности (число элементов) подмножеств a, b, c и d, если исследователи хотят ограничиться альтернативными высказываниями “отсутствие / наличие” вида, либо показатели обилия в абсолютной или интервальной шкале. В первом случае мы будем отождествлять мощность подмножества с ним самим.

Рис 4.6. Диаграмма интерпретации составляющих подмножеств признакового пространства видов

Первая попытка количественного выражения степени сходства между сообществами принадлежала в 1901 г. швейцарскому исследователю П. Жаккару (P. Jaccard) и коэффициент флористического сходства Жаккара до сих пор широко используется в геоботанике:

K_J = с / (a + b - c) . (4.25)

Гидробиологи (да и вообще, экологи) чаще применяют формулу коэффициента общности видового состава Т. Съёренсена [Sőrensen, 1948^М]:

K_S = 2 с / (a + b ) .(4.26)

Приведем без комментариев еще несколько подобных формул коэффициентов, оперирующих с мощностями подмножеств [Сёмкин, 1979; Миркин с соавт., 1989; Дедю, 1990]:

Роджерса и Танимото (он же, Нордхагена): K₃ = с / (a + b + c) ;

Маунтфорда: K₄ = 2 с / (2ab - ac -bc) ;

Рао-Рассела: K₅ = с / (a + b + c + d) ;

Дейка: K₆ = 2 с / (a + b + 2 c) ;

Кульчинского: K₇ = (a + b) / 2ab ;

Экмана: K₈ = (a + b) / с ;

процент несогласия: K₉ = (a + b) / (a + b + c ).

В качестве несимметричных мер можно отметить:

меры включения, оценивающие "банальность" K₁₀и "экзотичность" K₁₁ биоценозов [Рябинин, 1993]:

K₁₀ = с / (a + c) ; K₁₁ = с / (b + c) ;

трансформированный коэффициент Дайса [Миркин с соавт., 1972]:

K_D = [c – min(a,b)] / [c + min(a,b)] .

В дальнейшем было сформулировано [Сёмкин, Двойченков, 1973] несколько правил, по которым можно "изобрести" неограниченное количество мер, подобных K_i .

Традиционное для теории измерений хеммингово расстояние (метрика Хемминга), менее других похоже на перечисленные коэффициенты, т.к. оно не является безразмерным и не ограничено сверху числом 1:

R_H = (c + d) .(4.27)

В ряде работ [Миркин, Розенберг, 1978, 1979] делаются попытки оценить, какие коэффициенты из вышеперечисленных "завышают" или "занижают" сходство между сообществами и каким коэффициентам следует отдать предпочтение в работе. Однако вряд ли имеет смысл проводить сравнительных анализ абсолютных значений коэффициентов, т.к. в данном случае единственным критерием оценки является последовательность агрегирования объектов на основании меры сходства в более крупные таксоны, иерархические деревья и проч.

Несмотря на почти повсеместную традицию использовать для оценки сходства биоценозов меры ассоциативности по Жаккару (4.25), Съёренсену (4.26) и проч., нам не кажется плодотворной идея без особенной нужды сводить количественную шкалу, в которой измерено подавляющее большинство гидробиологических показателей к информативно более ослабленной номинальной шкале. Слишком много труда гидробиологов вкладывается в подсчет значений численностей гидробионтов, чтобы потом огрублять исходные данные в мере Съёренсена до статистически сомнительного факта простой встречаемости видов...

Коэффициенты связи

Использование в качестве меры близости объектов косинусов углов между информативными векторами удобно тем, что функция сходства нормируется в шкале от 0 до 1 и не зависит от абсолютных значений переменных. Чтобы избежать разбиения на две дополнительные подгруппы положительно и отрицательно коррелируемых параметров, обычно используют квадраты (или абсолютные значения) косинусов углов. В разделах части 3 нами подробно будут рассмотрены конкретные формулы вычисления мер этого типа для различных шкал представления признаков: коэффициенты корреляции Пирсона, Спирмена и Кендалла, критерий c ² и другие меры оценки сопряженности. Ниже рассматриваются некоторые специфические для экологических исследований коэффициенты этого типа.

При подсчете мер сходства показателей обилия, выраженных в абсолютных или относительных значениях видовой численности или биомассы возможно использование коэффициента К. Чекановского [Czekanowcki, 1911^М]:

,(4.28)

где X_i и Y_i – количественные значения вида i в пробах X и Y, S – общее число видов.

К другим коэффициентам, оценивающим сходство биоценозов по показателям обилия, можно отнести следующие:

коэффициент общности удельного обилия, предложенный А.А. Шорыгиным [1939^М, 1952^М] для сравнения спектра питания рыб, использующий те же обозначения, что и для формулы Чекановского (4.28) (иное название – коэффициент суммы минимумов по А.С. Константинову [1969]):

,(4.29)

коэффициент биоценологического сходства Б.А. Вайнштейна [1976] для оценки комбинированного сходства биоценозов по обилию и видовому составу:

K_комб = M_S×K_J^’_,

где M_S – коэффициент общности удельного обилия, K_J^’ – коэффициент сходства видового состава [Алёхин с соавт., 1925^М], полностью совпадающий с коэффициентом Жаккара (4.25).

Меры расстояния

Наиболее общей формулой для подсчета расстояния в m-мерном признаковом пространстве между объектами X₁ и X₂является мера Минковского [Ким с соавт.,1989]:

,(4.30)

где r и p – параметры, определяемые исследователем, с помощью которых можно прогрессивно увеличить или уменьшить вес, относящийся к переменной i, по которой соответствующие объекты наиболее отличаются. Параметр p ответственен за постепенное взвешивание разностей по отдельным координатам, параметр r определяет прогрессивное взвешивание больших расстояний между объектами.

Мера расстояния по Евклиду получается, если метрике Минковского положить r = p = 2, и является, по-видимому, наиболее общим типом расстояния, знакомым всем по школьной теореме Пифагора, – геометрическим расстоянием в многомерном пространстве, которое вычисляется следующим образом:

,(4.31)

Заметим, что евклидово расстояние может быть вычислено как по исходным, так и по стандартизованным данным (например, нормированным на интервале от 0 до 1).

При r = p = 1 метрика Минковского дает "расстояние городских кварталов" (манхэттенское расстояние), которое является просто суммой разностей по координатам:

,(4.32)

В большинстве случаев эта мера расстояния приводит к таким же результатам, что и обычное расстояние Евклида. Однако отметим, что для нее влияние отдельных больших разностей (выбросов) уменьшается, так как они не возводятся в квадрат.

При r = p ® ¥ имеем метрику доминирования (она же, супремум-норма или расстояние Чебышева), которая вычисляется по формуле:

D_T(X₁,X₂) = max | x_1i – x_2i |. (4.33)

Это расстояние может оказаться полезным, когда желают определить два объекта как "различные", если они различаются по какой-либо одной лимитирующей координате (каким-либо одним измерением).

На практике, особенно в медико-биологических исследованиях, часто возникает проблема исследования связи в таблицах данных, измеренных в различных шкалах. Для этой цели был предложен [Gower, Ross, 1969; Ким с соавт.,1989] коэффициент Гауэра, допускающий одновременное использование трех шкал: количественной, порядковой и номинальной:

,(4.34)

При этом:

для номинальных признаков i = 1,2,…,m_n алгоритм подсчета вклада признаков K_i совпадает с подсчетом коэффициента Жаккара;

вклад Р_i порядковых признаков i = 1,2,…,m_р совпадает с хемминговым расстоянием, если последнее мысленно обобщить на ранжированные переменные;

для количественных признаков i = 1,2,…,m_х D_i = 1 - |x_1i – x_2i| / S_i , где S_i– размах i-го признака, вычисленный по всем объектам.

Одним из важных шагов по упорядочению используемых оценок явилось формулировка понятий “эквивалентности” и “коэквивалентности” мер сходства. Согласно теореме Б.И. Семкина и В.И. Двойченкова [1973], две меры r₁ и r₂ эквивалентны, если они связаны монотонно возрастающей зависимостью j , т.е. r₁ = j (r₂). Примерами таких функций j являются:

линейное преобразование r₁ = a + b × r₂ , позволяющее любой коэффициент сходства умножить, разделить или сложить с некоторым постоянным числом;

потенциальные функции, удобные для нормировки:

где a и b – константы, e – любое рациональное число.

Понятие эквивалентности мер имеет важное следствие: если две меры эквивалентны, то они приводят к одной и той же последовательности объектов, упорядоченных по их сходству: близкие объекты остаются близкими и т.д. Например, можно показать, что свойством эквивалентности обладает континуум мер сходства, представленных формулой:

, (4.35)

где -1 < u < ¥ , а остальные обозначения приведены на рис. 4.6. Нетрудно заметить, что при u = 0 мы имеет хорошо известный коэффициент Съёренсена (4.26); мера при u = 1 численно совпадает с коэффициентом Жаккара (4.25), а при u = 3 – с коэффициентом Сокала–Снита и т.д., поэтому споры о том, какой коэффициент лучше, можно считать беспредметными. То же можно сказать и об использовании более "сложных" формул, которые часто создают только иллюзию объективности и точности классификации.

Если бы принцип оценки эквивалентности получил достаточное распространение в количественной гидробиологии лишь только как "санитарно-профилактическое средство", препятствующее изобретению новых эмпирически мало подтвержденных индексов, неустанно появляющихся в различных областях, от этого была бы большая польза: биологическая литература освободилась бы от множества неоправданных манипуляций с числами и ненадежных рекомендаций.

Введенное понятие “эквивалентности” оказывается полезным еще и потому, что приводит к пониманию смысла использования неэквивалентных мер, как наиболее независимых и ценных членов "распознающего коллектива" [Розенберг с соавт., 1994], оценивающего различные свойства анализируемого материала. Если, например, выводы, полученные на основе использования корреляционных мер сходства, совпадут с выводами кластерного анализа на основе евклидовой дистанции, то с уверенностью можно утверждать, что они действительно основаны на исходных данных, а не на методе их извлечения.

Дальше

Назад

Начало

Конец

Список