Дальше

Назад

Начало

Конец

Список

Пусть имеется выборка из n значений X₁, X₂,…,X_n некоторого измеренного количественного гидробиологического показателя, который будем называть откликом. Каждому значению отклика поставлен в соответствие некоторый качественный признак (фактор), на основании которого общую выборку можно сгруппировать в частные независимые случайные выборки: если фактор имеет k уровней , то при каждом уровне фактора, j = 1, ..., k, имеется измерений. Необходимо:

• если нулевая гипотеза отвергается, то оценить степень влияния фактора;
• выделить все пары групп i - j, i = 1,2,…k, j = 1,2,…k, i ¹ j , которые имеют между собой статистически значимые различия.

Рекомендуемая литература: [Урбах, 1963; Плохинский, 1970, 1982; Закс, 1976; Джонсон, Лион, 1980, 1981; Любищев, 1986; Дрейпер, Смит, 1986, 1987].

Пусть измеряемая величина x есть результат действия фактора А и некоторой случайной составляющей e , от фактора не зависящей и отражающей внутреннюю изменчивость наблюдений: .

• значение отклика x_ij можно представить в виде суммы вкладов влияния уровней фактора, т.е. приемлема аддитивная модель:

• случайная составляющая e распределена нормально N(0, s ²) с дисперсией s ².

Основное соотношение дисперсионного анализа можно записать как разложение общей или "полной" суммы квадратов отклонений (Q) отдельных наблюдений от общей средней на две составляющие:

h ²_A= Q_A / (Q_A + Q_e).(5.23)

Чем ближе значение h ²_A к единице, тем большим принимается влияние группировочного фактора A на результативный признак X. Можно рассчитать корреляционное отношение и для остаточной суммы квадратов

h ²_е = Q_е / (Q_A + Q_e) ,

тогда очевидно, что h ²_A + h ²_е = 1. Корреляционные отношения иногда использовать проще, чем суммы квадратов, поскольку они нормированы и не зависят от шкалы измерений. Однако они не могут быть использованы для проверки гипотез, поскольку не включают число степеней свободы.

Пусть имеется k выборок объемами n₁, ..., n_k, . По каждой из выборок методом наибольшего правдоподобия оценим групповые средние a_j и групповые дисперсии s ²_j:

а затем оценим s ² по всем выборкам:

Сформулируем гипотезу Н об отсутствии влияния фактора А, которая справедлива, если групповые средние равны между собой: a₁ = a₂ = ... = a_k .

Статистика, рассчитанная по формуле (5.25) несмещенно оценивает общую дисперсию s ², независимо от того, верна или нет гипотеза H. Другую оценку для s ² построим, используя только значения групповых средних :

Если H верна, то для всех j = 1, 2,…,k.

Из теоремы о совместном распределении оценок среднего и дисперсии нормальной совокупности следует, что статистики (N - k)s ^2* и (k - 1)s ^2** независимы и распределены как s ^{2c 2}_N-k и , соответственно, и потому их отношение

если гипотеза H верна, имеет F-распределение Фишера, зависящее только от двух степеней свободы (k -1) и (N - k).

Пусть – квантиль уровня () F-распределения с и степенями свободы, где a – выбираемый уровень значимости. Если гипотеза не верна, то s ^2** имеет тенденцию к увеличению за счет разброса средних a_j, приводящую к тому, что принимает слишком большое значение, превышающее критическое

В этом случае гипотеза об отсутствии влияния фактора A отклоняется, и следует считать, что среди подмножества внутригрупповых средних a₁, a₂, …, a_k имеются хотя бы два не равных между собой.

где F – случайная величина, распределенная по закону Фишера.

Таким образом, влияние фактора признается достоверным, если средняя сумма квадратов отклонений между группами S²_А = Q_А/(k -1) значимо превышает средние квадраты внутри групп S²_e = Q_e/(N - k).

Если гипотеза Н_о оказалась несовместимой с наблюдениями, есть основания для обсуждения значений параметров a₁, a₂, …, а_j, …, a_k , оценками которых являются внутригрупповые средние. Отношение подчиняется распределению Стьюдента с степенями свободы, и если t_1-a = – квантиль уровня (1 - a ) этого распределения, то получаем доверительный интервал для a_j с уровнем доверия (1 - 2a ):

• показатель Миллса-Лукомского [Урбах,1963]

• доля дисперсии, объяснимая фактором

• G-критерий Кохрена используется для тех же целей и вычисляется как

При больших объемах выборок М-статистика Бартлетта имеет асимптотическое c ² распределение с числом степеней свободы (k - 1), а способ расчета критических значений G-статистики Кохрена по аппроксимационным формулам представлен в статистических справочниках. Заметим, однако, что критерии Кохрена и Бартлетта также весьма чувствительны к отклонению от предположения, что нормированные оценки дисперсии у сравниваемых выборок подчиняются распределению c ².

Если гипотеза H о равенстве средних отклоняется, то следует определить, по каким именно уровням фактора групповые средние значимо различаются. В своем простейшем варианте эта задача сводится к попарному сравнению средних значений двух произвольных выборок.

Процедуру сравнения двух произвольных выборочных средних a₁ и а₂, основанных на выборках размерностью n₁ и n₂ и имеющих оценки дисперсий s²₁ и s²₂ соответственно, выполняют с помощью t-статистики, численно равной нормированной разности групповых средних. Известно, что это распределение близко к t-распределению Стьюдента (5.36) с числом степеней свободы n , равным округленному до ближайшего целого выражению (5.36а):

; (5.36) .(5.36а)

Если для вычисленной t-статистики выполняется неравенство:

t > t_{1-a , n} ,(5.37)

где t_{1-a , n} – критическое значение распределения Стьюдента при n степенях свободы, то нулевая гипотеза о равенстве средних отвергается с уровнем значимости a .

Линейным контрастом L называется любая линейная комбинация выборочных средних a_j с произвольными коэффициентами с₁, с₂, …, с_k ,

;, (5.38)

вычисленная для k независимых выборок с неизвестными, но равными дисперсиями.

Пусть для некоторого контраста L: оценка среднего – , а оценка дисперсии – . Зафиксируем произвольное число контрастов . Можно показать, что одновременно для всех с вероятностью (1 - a ) выполняются соотношения:

Неравенства (5.39), использующие критические значения F-распределения, позволяют сделать вывод о достоверности одновременного влияния любых интересующих нас комбинаций уровней факторов.

Вычисления статистики критерия Шеффе при проверке нулевой гипотезы L = L₀ производятся по следующей формуле:

, где – средний квадратичный остаток,

N – общая численность, k – число выборок (k > 2); n_i – численность i-й выборки, i = 1,2,…k; a_i – среднее i-й выборки. Уровень значимости вычисляется на основе функции плотности F-распределения с параметрами (k -1) и N.

Гипотезы о простых линейных контрастах могут быть также проверены с помощью двух других методов: с использованием критерия множественных сравнений Дункана t_D и критерия достоверно значимой разности Тьюки t_T , которые по своим предпосылкам применения и технике вычислений очень похожи на методику Шеффе. Вычисления этих критериев проводят по следующим формулам при тех же обозначениях , что и t_S:

а для нахождения p-значений критериев Дункана и Тьюки сформированы таблицы распределений "стьюдентизированного размаха".

Формирование однородных групп средних значений возможно также с использованием LSD-критерия. Для этого упорядочивают k средних значений выборочных групп по их возрастанию и проверяют, больше ли разность D между соседними величинами, чем наименьшая значимая разность (least significant difference, LSD):

При D < LSD или D _{(a, b)} < LSD_{(a, b)} нет оснований для отклонения нуль-гипотезы Н_о о равенстве соседних средних значений.

Рассмотрим влияние типа грунта на общие показатели обилия хирономид. На основе данных из базы по малым рекам Самарской области сформируем выборку из численности N экземпляров отдельных видов Chironomidae на м² и их биомассы В (г/м²). Выполним группировку суммарных значений N_s и B_s для каждой пробы и вычислим дополнительно преобразованные выборки из прологарифмированных значений этих показателей обилия и индекса плотности населения (N_s*B_s)^1/2 . Качественные оценки грунтов на дне водоемов в местах отбора проб представим в виде 6 категорий:

Выполним проверку нулевой гипотезы об отсутствии влияния типа грунта на общее обилие хирономид, ориентируясь на p-значения, соответствующие вычисленным F-статистикам. Результаты, приведенные в табл. 5.3, свидетельствуют о том, что из всех анализируемых выборок значимые отличия (p-значения меньше 0.05) показателей обилия для различных грунтов имеют место только для ln (N_s). Весьма близка к этому выводу оказалась и выборка ln((N_s*B_s)^1/2).

Результаты проверки по критерию Фишера гипотезы о влиянии типа грунтов на обилие Chironomidae

Кроме описанных в разделе 5.1 критериев согласия, для проверки нормальности закона распределения часто бывает достаточно визуальной оценки, основанной на удивительной способности человеческого глаза обнаруживать сходство геометрического образа с прямой линией. Для этого используют построение графиков на "нормальной вероятностной бумаге", где на оси абсцисс откладывают значения x_i, а на оси ординат – значения функции, обратной интегралу вероятностей Ф(z_i) = (x_i –a)/s . В случае нормального распределения полученные точки ложатся на прямую, как это имеет место для прологарифмированных значений и никак не характерно для натуральных значений (см. рис. 5.6)

Как подтверждается результатами, приведенными в табл. 5.3, F-критерий очень неустойчив к отклонению выборок от нормальности (подробнее см. [Lindman, 1974]). Если эксцесс существенно больше 0, что имеет место в случае с натуральными значениями численности и биомассы, то значение статистики F может стать очень маленьким. Нулевая гипотеза при этом не может быть отвергнута, хотя она и не верна. Ситуация обычно меняется на противоположную, если эксцесс меньше 0.

Результаты проверки однородности выборочных дисперсий обилия Chironomidae в зависимости от типа грунтов

Выборки для анализа	Тест по методу Кохрена		Тест по методу Бартлетта
	G-критерий	Р-значение	М-критерий	Р-значение
1. Численность Ns	0.406	0.0	1.381	0.0
2. Биомасса Bs	0.429	0.0	1.159	0.0
3.ln (Ns)	0.210	0.291	1.008	0.602
4. ln(Bs)	0.206	0.396	1.009	0.538
5. ln((Ns*Bs)1/2)	0.200	0.571	1.010	0.492

Более детально параметры семейства сдвиговых распределений представляются на диаграммах размаха типа “прямоугольники и усы” (box-whisker), показанных на рис. 5.7. Вокруг медианы для каждой выборки рисуется прямоугольник, замыкающий 50% наблюдений; среднее значение отмечено знаком “+”, а отрезки, концы которых расположены вне прямоугольника, определяют вариационный размах (но не более 1.5 межквартили с каждой стороны).

• численность и биомасса достигают своих максимальных значений на грунтах категории 2-4 (заиленный песок с растительными остатками) и существенно уменьшаются как на "чистых" грунтах категории 1, так и на вязких, глинистых илах категории 5;
• весьма неоднозначно поведение этих показателей на "черных" анаэробных илах категории 6, где при большой медиане общей численности, биомасса достигает своего минимального значения, что, возможно, объясняется развитием видов с небольшим индивидуальным весом особей;
• индекс плотности населения (N_s*B_s)^1/2 предоставляет более обобщенные выводы об основных закономерностях развития гидробионтов на грунтах различных категорий, чем отдельные показатели численности или биомассы, учитывая динамику их обоих.

К сожалению, такая статистически обоснованная концепция "нулевой" численности для видов, не встретившихся в пробе, приводит к серьезным практическим сложностям. Во-первых, становится неопределенным понятие размера выборки, ибо, если количество проб, в которых встретился некоторый вид всегда счетно и определено, то число проб, в которых он не встретился, сильно зависит от точки зрения экспериментатора (вспомним, например, Александра Ширвиндта, пробующего перечислить роли, которые он не сыграл). Во-вторых, на понятии частоты встречаемости видов основаны индексы, являющиеся общеупотребительными в классической количественной гидробиологии, например, индекс доминирования Палия-Ковнацкого (см. раздел 4.3):

где M – общее количество серий измерений, m_i – количество серий наблюдений, в которых встретился i-й вид, N_ik – численность вида i в k-м измерении, N_sk – сумма численностей всех видов в k-м измерении. Если принимается концепция "нулевой" численности, то частота встречаемости m_i/M автоматически теряет всякий смысл (поскольку вид встречается всегда, принимая иногда значения N_ik ® 0) и, после исключения этого соотношения, индекс доминирования D_i гармонично превращается в традиционную вероятность р встретить i-й вид. Вряд ли многие гидробиологи будут с этим согласны.

Тем не менее, нами был избран принцип "значащих нулей" и при логарифмировании шести одинаковых по размеру выборок численностей трофических групп мы использовали прием добавления единичной численности ln(N_ik + 1), поскольку логарифм нуля математически не определен. В этих условиях расчета связь численности подгрупп хирономид с категорией грунта проявляется достаточно отчетливо: влияние фактора во всех случаях достоверно, за исключением группы сестоно-детритофагов, для которых влияние грунта незначимо. Из диаграммы сдвига групповых средних на рис. 5.8 можно, например, видеть, что рост численности хирономид на грунтах категории 6 объясняется развитием одной группы – детритофитофагов. В то же время низкая численность организмов на чистых твердых грунтах категории 1 обусловлена, в основном, всеядными собирателями и детритофитофагами. Напомним также, что на численность сестонофагов + детритофагов фильтраторов тип грунта заметного влияния не оказывает.

Поскольку результаты в табл. 5.6 свидетельствуют о высокой достоверности наличия факторного эффекта, то может быть выполнен анализ, по каким именно уровням фактора групповые средние значимо различаются. В табл. 5.7 приведена матрица парных сравнений Г. Шеффе, в которой для всех возможных пар категорий грунта {1}…{6} приведены вероятности предположения об отсутствии различий между средними значениями логарифма численности хищников-хватателей семейства Chironomidae. Для пар групп, выделенных жирным шрифтом, не отклоняется гипотеза об отсутствии различий.

Дальше

Назад

Начало

Конец

Список