Дальше

Назад

Начало

Конец

Список

В рамках постановки задачи однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа (см. разделы 5.2 - 5.3) необходимо выполнить проверку нулевой гипотезы об отсутствии различий между группами наблюдений в условиях неопределенности априорных предпосылок о нормальности распределений и однородности дисперсий.

В условиях неопределенности исходных предпосылок дисперсионного анализа, проще опираться в своих выводах на отношениях "больше - меньше" между наблюдениями, т.к. эти отношения не зависят от формы распределения. Рассмотрим применение для проверки нулевой гипотезы семейства ранговых непараметрических критериев, опирающихся на рангах, которые получают числа X_ij при упорядочении всей совокупности.

Рекомендуемая литература: [Большев, Смирнов, 1968; Гаек, Шидак, 1971; Гублер, Генкин, 1973; Кендалл, 1975; Рунион, 1982; Холлендер, Вулф, 1983].

Пусть имеются две выборки X1, X2, ..., Xm и Y1, Y2, ..., Yn из n и m числовых результатов наблюдений, функции распределения которых непрерывны и строго возрастают, причем эти случайные величины независимы в совокупности. Из непрерывности функций распределения следует, что с вероятностью 1 все m + n результатов наблюдений различны. В реальных статистических данных иногда встречаются совпадения, и тогда теоретическая схема действует как приближенная, основанная на усреднении рангов, а надежность ее выводов снижается по мере увеличения числа совпадений. Рассмотрим критерии сравнения средних тенденций двух выборок.

Статистика W двух выборочного критерия, предложенного в 1945 г. Ф. Вилкоксоном (F.Wilcoxon), определяется следующим образом. Все элементы объединенной выборки X1, X2, ..., Xm, Y1, Y2, ... , Yn упорядочиваются в порядке возрастания. Последовательность рангов (т.е. порядковых номеров места, которое каждое значение занимает в общем упорядоченном ряду объема m + n) является некоторой перестановкой чисел 1, 2, …, m + n, а общее число возможных ранговых последовательностей равно (m+n)! Пусть элементы первой выборки X1, X2, ..., Xm занимают в общем вариационном ряду места с номерами R1, R2, ..., Rm, другими словами, имеют ранги R1, R2, ..., Rm. Тогда критерий (статистика) Вилкоксона

будет уменьшаться по мере того, как наблюдения из первой группы будут оказываться чаще в левой части вариационого ряда чисел 1,2,…,m+n+1, т.е. наблюдения Y-ов получают тенденцию превосходить наблюдения Х-ов. Вилкоксон показал, что при справедливости нулевой гипотезы, когда значения выборок хорошо перемешаны, статистику W можно считать приближенно нормально распределенной со средним m× (m+n+1)/2 и дисперсией m× n× (m+n+1)/12. Это позволило разработать методики проверки справедливости нулевой гипотезы на заданном уровне значимости [Большев, Смирнов, 1983].

Статистика U Манна-Уитни (H.B. Mann, D.R. Whitney), предложенная в 1947 г., определяется как число пар (Xi, Yj) таких, что Xi < Yj , среди всех m× n пар, в которых первый элемент – из первой выборки, а второй – из второй. Иными словами, уславливаются, что Xi < Yj означает "успех", а всякое событие Xi > Yj – "неудачу". На всем множестве возможных парных сравнений n× m подсчитаем число "успехов" U и полученную случайную величину назовем статистикой Манна-Уитни. На "языке формул" имеем:

, где (5.58)

Ясно, что U может принимать значения от 0 до m× n.

Имеются доказательства [Оуэн, 1973], что статистики W и U эквивалентны в смысле связывающей их линейной функции

поэтому часто говорят об общем критерии Вилкоксона–Манна–Уитни.

Вернемся к задаче однофакторного дисперсионного анализа, оперирующей с таблицей X = {x₁₁, x₂₁, …, x_n11, x₁₂, …, x_nkk}, где j = 1,2,…k – количество уровней группировки фактора, n_j – количество наблюдений на j-м уровне. Упорядочим величины x_ij (все равно как – от меньшего к большему, либо наоборот) и обозначим через r_ij ранг числа x_ij во всей совокупности. При выполнении гипотезы Н_о любые возможные расположения рангов по местам дисперсионной таблицы равновероятны. Согласно стратегии анализа возникает вопрос: нельзя ли объяснить эмпирическое расположение рангов в таблице измерений чисто случайными причинами. Это соответствует проверке статистической гипотезы о том, что все k предъявленных выборок однородны, т.е. являются выборками из одного и того же закона распределения, для чего необходимо сконструировать ранговый статистический критерий, чувствительный к определенной совокупности альтернатив.

Для каждого уровня фактора j рассчитывается средний ранг:

Если между столбцами нет систематических отличий, то средние групповые ранги R_j , j=1,2,…,k, не должны значительно отличаться от среднего ранга, рассчитанного по всей совокупности , который равен (N+1)/2 (N – общее количество измерений). Поэтому при справедливости Н_о величины в совокупности не должны быть большими.

где множитель перед знаком суммы присутствует в качестве нормировочного для обеспечения асимптотической сходимости распределения KU к распределению c ² с числом степеней свободы (к -1).

В рамках однофакторного дисперсионного анализа для каждой пары натуральных чисел u и v, соответствующих сравниваемым выборкам, где k ³ v > u ³ 1, составим статистики Манна-Уитни:. (5.62)

Нетрудно заметить, что значение статистики зависит от порядка расположения градаций от 1 до k, поэтому I применяется в тех случаях, когда заранее предполагается, что имеющиеся группы результатов упорядочены по возрастанию влияния фактора. Например, первая группа наблюдений соответствует I классу качества воды в водоеме, 5 группа – V классу, а промежуточные номера соответствует последовательности классов качества. Свидетельством в пользу упорядоченности эффектов против гипотезы однородности служат большие значения статистики, полученные в эксперименте. Критерий Джонкхиера в этих условиях оказывается более чувствительным в оценке влияния фактора, чем критерий Краскела-Уоллиса.

При небольших объемах выборок распределение статистики I табулировано, а для больших выборок действует нормальная аппроксимация.

Будем основываться на структурной таблице двухфакторного статистического комплекса (см. раздел 5.3). Обратим внимание на то, что критерий Фридмана можно применять только к данным, состоящим из равного числа наблюдений для каждой клетки из k× n. Подобные планы эксперимента называются сбалансированными. Критерий основывается на тех же концепциях, что и статистика Краскела-Уоллеса, однако, в отличие от однофакторного анализа, ранжирование происходит не по всей совокупности величин x_ij, а по блочно, т.е. рассматривается каждая отдельная i-я строка и пересчет в ранги происходит для j = 1,2,…,k. Тем самым устраняется влияние "мешающего" фактора В, значение которого для всех строк постоянно.

При гипотезе Н_о: a₁ = a₂ = ... = a_k = 0 об отсутствии влияния фактора А каждая строка рангов будет представлять случайную перестановку чисел от 1 до k, причем все k! перестановок равновероятны. Введем величину , являющуюся средним значением рангов по столбцу j, и будем сравнивать ее с общим средним рангом всех элементов таблицы, равном R_ср = (k + 1)/2.

Статистика Фридмана для проверки гипотезы H_o имеет следующий вид:

При справедливости нулевой гипотезы (в силу равновероятности построчных перестановок рангов) значения (R_j – R_ср)² достаточно малы для всех j и, следовательно, значение S сравнительно невелико. При нарушении H_o баланс суммы рангов по столбцам нарушается и статистика Фридмана возрастает. Для небольших величин n и k критические значения S(a ,k,n) могут быть найдены по таблицам. При n ® ¥ статистика Фридмана асимптотически распределена как c ² с числом степеней свободы (к - 1).

Сформируем таблицу рангов так, как это было сделано при обосновании статистики Фридмана. Критерий Пейджа предназначен для проверки гипотезы H_o об отсутствии эффекта влияния фактора А (Н_о: a₁ = a₂ = ... = a_k = 0) против альтернативы "влияние фактора А увеличивается (вариант: уменьшается) в определенном направлении изменения градаций" , т.е. гипотезы об упорядочении H₁: a₁ £ a₂ £ … £ a_k, где хотя бы одно из неравенств строгое.

Введем величину , являющейся суммой рангов по столбцу j. Статистика Пейджа по определению есть:

Методы проверки нулевой гипотезы с использованием L-критерия Пейджа изложены в литературе [Холлендер, Вульф, 1983; Ликеш, Ляга, 1985] и иллюстрируются ниже на примерах.

В предыдущем разделе был проведен анализ влияния сезонного фактора (т.е. номера месяца, в котором была отобрана проба) на общую численность зообентоса и личинок Chironomidae, в частности. Однозначных выводов, в конечном итоге, сделано не было, в первую очередь потому, что сезонная динамика различных видов водных организмов далеко не однозначна. Рассмотрим результаты проверки нулевой гипотезы об однородности выборок численности отдельных видов хирономид, взятых в различные месяцы отбора проб, с использованием методов непараметрической статистики. В таблице 5.11, кроме значений критерия Краскела-Уоллиса, приведены параллельно величины параметрических F-критериев Фишера, рассчитанных по натуральным и предварительно прологарифмированным выборкам.

• обращает на себя внимание факт близости оценок уровней значимости Р, рассчитанных по F-критерию для прологарифмированных выборок и по статистике Краскела-Уоллиса, где несовпадение, имеющее принципиальное значение, зафиксировано только для Cryptochironomus gr. defectus;
• в очередной раз приходится констатировать, что использование дисперсионного анализа для выборок с сильной асимметрией распределения, какими являются ряды натуральных значений численности зообентоса, приводит к совершенно непредсказуемым результатам;
• из семи проанализированных видов зообентоса непротиворечивые выводы о статистически существенном влиянии сезонного фактора на численность зафиксированы только для Dicrotendipes nervosus (в отношении Cryptochironomus gr. defectus параметрические и непараметрические оценки разошлись).

Сезонная динамика значений среднего ранга численности некоторых видов представлена на рис. 5.11. Можно отметить, например, не совсем обычные для жизненных циклов P. nubeculosum и Cladotanytarsus mancus колебания численности их личинок.

Для окончательного уточнения сезонных изменений обилия Cryptochironomus gr. defectus проверим в качестве альтернативы к нулевой гипотезе предположение о монотонном снижении численности вида с мая по сентябрь с использованием статистики Джонкхиера. Для ее вычисления найдем значения критерия Манна-Уитни U для всех комбинаций индексов u и v, которые меняются от 5 до 9, причем u < v:

Откуда = 2692.5 .

Для нахождения минимального уровня значимости критерия Джонкхиера воспользуемся нормальной аппроксимацией: I ~ N(M_I, D_I), где

Величина асимптотически имеет стандартное нормальное распределение и по таблицам для I^* = -2.95 имеем р = 0.00051, т.е. принимается гипотеза о монотонном снижении численности Cryptochironomus gr. defectus в течении сезона. Заметим, что критерий Джонкхиера оказался более чувствительным к выявлению тенденции, чем статистика Краскела-Уоллиса.

Рассмотрим теперь, как влияют на разнообразие видов зообентоса, оцененное по индексу Шеннона Н, два фактора – место расположения точки отбора пробы и месяц, во время которого произведено наблюдение. Поскольку метод Фридмана использует сбалансированные планы, сформируем таблицу средних значений индексов Шеннона для р. Чапаевка, разбив всё течение реки от истоков до устья на 6 участков (см. табл. 5.12). Поскольку на участках 1-4 в августе измерения не проводились, в соответствующие пропущенные клетки таблицы были подставлены средние за август значения индекса на устьевых участках (x_ij = 1.605).

Выполним предварительно стандартный двухфакторный дисперсионный анализ (см. таб. 5.13). Очевидно значимое влияние фактора Ф1 расстояния от устья и отсутствие влияние фактора сезонности Ф2.

Рассчитав значение критерия Фридмана для левой части таблицы 5.14, мы получим S = 13.67. Этому значению соответствует статистика c ² с 5 степенями свободы и вероятностью p = 0.0178, т.е. с таким уровнем значимости нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативы и влияние места отбора пробы на индекс Шеннона можно считать установленным.

Аналогично для правой части таблицы имеем S = 7.86, p = 0.096, т.е. в представленных данных фактор сезонности не оказывает влияния на биоразнообразие. Нельзя не отметить практическое совпадение уровней значимости гипотез, оцененных по критериям Фишера и Фридмана.

Впрочем, для незначимого фактора Ф2 сезонной изменчивости критерий Пейджа также достаточно велик и равен L = 242, чему соответствует р = 0.011. Это иллюстрирует тезис о том, что в случае упорядоченных альтернатив для критерия Пейджа характерна не всегда обоснованная гипердиагностика в пользу оценки влияния фактора.

Дальше

Назад

Начало

Конец

Список