Дальше

Назад

Начало

Конец

Список

Исходные условия те же, что и для регрессионного анализа: т.е. имеется две группы сопряженных наблюдений

X º (x₁, ..., x_m) и Y = (y₁, ..., y_m) .

Если есть сомнения в применимости гауссовой модели распределения данных (а они, в большинстве случаев, небезосновательны), то для оценки связи между переменными Y и X можно воспользоваться некоторыми альтернативами метода наименьших квадратов. Обсуждая в разделе 5.4 измерения в порядковых (ординальных) шкалах, мы убедились, что реальным содержанием этих измерений является тот порядок, в котором выстраиваются объекты по степени выраженности измеряемого признака. Порядковый номер числа в таком отсортированном списке называется его рангом.

Необходимо оценить степень влияния признака X на степень выраженности отклика Y. Если такого влияния нет, то справедлива нулевая гипотеза Н_о о независимости порядковых признаков. Решение этой задачи будем искать, основываясь на рангах измерений.

Пусть каждому i-му измерению приписана пара натуральных чисел (r_i, s_i), где r_i – ранг x_i среди чисел (x₁, ..., x_m), а s_i – ранг y_i среди чисел (y₁, ..., y_m). Будем при этом считать, что среди рядов чисел Х и Y нет повторяющихся значений, так что переход к рангам вопросов не вызывает.

Если признаки Х и Y взаимосвязаны, то последовательность рангов r₁, r₂, …, r_m влияет на ранговую последовательность s₁, s₂, …, s_m; в противном случае порядок среди Y случаен по отношению порядка среди Х. Поэтому центральным моментом обсуждения гипотезы H_o является оценка, насколько являются ранги s₁, s₂, …, s_m равновозможными (т.е. равновероятными) при любом порядке чисел r₁, r₂, …, r_m. Вторым важным моментом является выбор меры сходства двух наборов рангов.

которая варьируется от 0 , если последовательности полностью совпадают, до (m³ – m)/3, когда последовательности рангов полностью противоположны.

Нормированный по своему максимальному значению, коэффициент ранговой корреляции Спирмена

варьирует от +1 до –1 и свои крайние значения принимает в случаях полной предсказуемости одной ранговой последовательности по другой. Заметим, что значение S не зависит ни от значения первого номера последовательности, ни от порядка сортировки.

Статистику Кендалла К подсчитывают следующим образом. Выстраивают сопряженные наблюдения в порядке возрастания признака X и для каждого значения y_i определяют его ранг s_i. На последовательности рангов s₁, s₂, …, s_m определяют количество инверсий, т.е. нарушений порядка следования. Например, при m = 4 и последовательности рангов {4, 3, 1, 2} имеем количество инверсий (суть – статистику Кендалла) K = 3 + 2 = 5, где 3 – количество инверсий для числа 3 и 2 – количество инверсий для числа 3. Наименьшее возможное значение К = 0 получается при полном совпадении ранговых последовательностей, наибольшее K = m(m -1)/2 – при полной их противоположности.

Статистика t Кендалла эквивалентна r Спирмена как по мощности, так и по выполнению основных предположений. Обычно, однако, числовые значения r Спирмена и t Кендалла различны, потому что они отличаются как своей внутренней логикой, так и способом вычисления. Более важно то, что статистики Кендалла и Спирмена имеют различную интерпретацию: если коэффициент корреляции Спирмена может рассматриваться как прямой аналог коэффициента корреляции r Пирсона, вычисленный по рангам, то статистика Кендалла скорее основана на подсчете вероятностей (выражаясь более точно, проверяется наличие различий между вероятностями порядка расположения наблюдаемых данных для двух величин).

Если в данных имеется много совпадающих значений, то предпочтительнее использовать третью ранговую статистику g – критерий, который по своей интерпретации и вычислениям эквивалентен статистике Кендалла, за исключением того, что совпадения явно учитываются в нормировке. Выражаясь кратко, g представляет собой разность между вероятностью того, что ранговый порядок двух переменных совпадает, минус вероятность того, что он не совпадает, деленную на единицу минус вероятность совпадений.

Для проверки предположения об отсутствии связи между признаками надо вычислить выборочное значение любого коэффициента ранговой корреляции и сравнить его с критическим значением для данного уровня значимости. Нулевую гипотезу H_o следует отвергнуть, если полученное в опыте значение коэффициентов r или t по модулю превосходит критическое.

Критические значения ранговых критериев можно найти по таблицам, либо вычислить по приближенным формулам, которые основаны на том, что при H_o и с увеличением m распределение случайных величин и асимптотически приближается к стандартному нормальному закону N(0,1).

В результате гидробиологических наблюдений установлено, что при загрязнении водоемов происходит закономерное изменение соотношения численности личинок хирономид подсемейств Chironominae, Orthocladiinae и Tanypodinae. Ортокладиины обычно доминируют в чистых водах, таниподины – в загрязненных, что дало основания Е.В. Балушкиной предложить индекс, отражающий соотношение обилия представителей этих трех подсемейств и описанный в разделе 4.2.

Проверим справедливость этого предположения с использованием ранговых критериев r , t и g (см. табл. 5.19, где приведены статистики и соответствующие им значения вероятностей р). Расчет был выполнен по выборке из 88 наблюдений, а в качестве показателя загрязнения водоема использовались значения биологического потребления кислорода БПК_5.

1. На представленном массиве гидробиологических данных выявлена достоверная обратно пропорциональная связь между БПК₅ и численностью представителей подсемейства Orthocladiinae.
2. На водотоках Самарской области не подтверждается вывод о влиянии органического загрязнения в диапазоне до 10 мгО₂/л на абсолютную или относительную численность подсемейства Chironominae.
3. Нет веских оснований использовать, как это делает Е.В. Балушкина, в качестве анализируемого показателя относительную (в %) долю численности гидробионтов отдельных подсемейств вместо натурального значения общей численности. Например, если по абсолютной численности Tanypodinae достоверность нулевой гипотезы находится на уровне порога значимости, то для относительной численности гипотезу об отсутствии связи следует принять без колебаний.
4. Несмотря на то, что хирономидный индекс имеет значимую прямо пропорциональную связь с уровнем органического загрязнения, эта корреляция практически полностью основывается на удельной составляющей Orthocladiinae, поэтому прагматическая ценность конечного математического выражения для индекса Балушкиной в условиях рассматриваемого примера не определена.
5. Все три используемых ранговых коэффициентов корреляции продемонстрировали весьма близкие результаты оценки значимости нулевой гипотезы, что свидетельствует о надежности полученных выводов.

• для численности ортокладиин: N_Ort = 107.23 - 7.02 * БПК₅
  при коэффициенте корреляции r = 0.068, статистике Фишера F(1,86) = 0.41 и уровне значимости p = 0.526;

• для индекса Балушкиной K_b = 7.35 + 0.33 * БПК₅ ,
  при r = 0.179, F(1,86) = 2.85, p = 0.095 .

Дальше

Назад

Начало

Конец

Список