Дальше

Назад

Начало

Конец

Список

Пусть задано пространство признаков X размерностью m > 1, соответствующее некоторому списку видов гидробионтов. Точками этого пространства являются конкретные гидробиологические измерения x = {x₁,…, x_i,…,x_m}, где x_i – значение обилия i-го вида в пробе.

Как и в случае дискриминантного анализа, определены P классов {у₁, у₂, …, y_p}, к которым могут относиться всевозможные измерения х из Х, причем содержательный смысл используемой системы классификации имеет произвольный характер, включающий любые градации сапробности, токсобности, классов качества вод, типов водоемов, природно-климатических зон и т.д.

Необходимо на основе обучающей выборки определить набор формальных решающих правил, позволяющих для произвольного измерения х из Х указать класс качества вод y_k, к которому оно принадлежит.

Сформулируем метод классифицирования измерений x, основанный на следующих эвристических процедурах:

• на этапе обучения рассчитывается матрица оценок R, элементы которой R_ik являются тем больше, чем выше индикаторная ценность вида i для класса k (т.е. “сапробность”, “токсобность” или, попросту выражаясь, некоторая “классобность”);
• на этапе экзамена подбирается такой алгоритм распознавания, т.е. последовательность формул преобразования матрицы R в вектор результирующих оценок классов t:

Элементы матрицы R будем называть индикаторными валентностями (value of indication) вида i в классе k. Рассмотрим три версии расчета индикаторных валентностей и последующей классификации, основанные на следующих различных концепциях:

Как было описано в разделе 4.4, оценка зон сапробности по показательным организмам методом Зелинки и Марвана основывается на следующих предпосылках:

• для каждого i-го вида гидробионтов устанавливаются значения сапробных валентностей a_ik, которые теоретически совпадают с оценками распределения вероятности встречаемости вида в каждой k-й ступени сапробности и выражаются одной или несколькими цифрами, сумма которых равна 10;
• вводится шкала индикаторного веса J_i, выраженного в баллах от 1 до 5 и оценивающего роль (дискриминирующую важность) i-го вида при оценке степени загрязнения;
• для произвольной гидробиологической пробы, в которой измерены значения обилия видов N_i, с использованием величин a_ik и J_i, рассчитывается средневзвешенная сапробность сообщества t_k, которая является оценкой принадлежности пробы к k-й зоне сапробности.

Поскольку метод классификации водоемов по сапробности является единственным практическим способом количественной водной биоиндикации, понятно стремление исследователей-гидробиологов, накопивших значительный массив экспедиционных данных, провести самостоятельные расчеты индикаторных валентностей с учетом региональных особенностей бентофауны, характера загрязнений и типологии водоемов. В разделе 4.4 была приведена формула расчета сапробных валентностей с использованием численности N и встречаемости D_i гидробионтов в основных зонах сапробности (o-p), предложенная П.А. Цимдинем [1979]. Если сделать естественное предположение, что численность вида-индикатора представляет собой среднее значение численности для всех j измерений в k-й зоне, j = 1, 2,…, n_ik, то формула приобретает тривиальный вид отношения групповых средних к глобальной средней:

где n_ik – встречаемость i-го вида в k-й зоне, D_ik = n_ik / n, n – общее число измерений.

Индикаторные веса J_i оцениваются по Сладечеку, ориентируясь на характер распределения сапробных валентностей по зонам. Например, индикаторный вес J = 5 присваивается "хорошим" индикаторам, если все 10 баллов сапробной валентности распределены в одной зоне сапробности. Если валентности равномерно распределяются по ступеням, то такие виды считаются индифферентными или "плохими" индикаторами и получают небольшой балл.

Сформированные индикаторные валентности a_ik используются на втором этапе для прогнозирования класса водоема по комбинации видов, встретившихся в произвольно взятой пробе. Для этого, в соответствии с методом Зелинки и Марвана, для каждой k-й зоны (k = 1, 2,…, p) вычисляются средневзвешенные валентности t_k по численностям видов N_i (i = 1,…, n_p) экзаменуемого измерения с учетом индикаторных весов J_i:

где m_r – количество видов в тестируемой пробе.

В предыдущих разделах нами было показано, что для вариационных рядов обилия бентосных организмов наиболее характерно логнормальное распределение, в связи с чем логарифмирование численности особей в пробе существенно нормализует распределение значений N_i и обеспечивает корректное вычисление статистических характеристик: средней, дисперсии и проч. Поэтому альтернативными вариантами формул для a_ik и t_k являются:

Рассчитав для тестируемого примера средневзвешенные валентности t_k, имеющие смысл оценок принадлежности пробы к классам качества вод, мы можем избрать одну из двух стратегий классифицирования.

Вторая стратегия основывается на аналогии с расчетом индекса сапробности Пантле-Букка. И.К. Тодерашем [1984] предложена формула пересчета средневзвешенных сапробных валентностей {t_x, t_о, t_b , t_a , t_p} в индекс сапробности по Ротшайну (см. раздел 4.4), которая имеет следующий вид:

S_R = 0× t_x,+ 1× t_о + 2 × t_b + 3× t_a + 4× t_p .(8.35)

По величине индекса S_R судят о принадлежности к зоне сапробности.

Традиционным для гидробиологии является анализ видовой встречаемости, когда для исследователя имеет значение только факт наличия вида в пробе. Такой подход, например, широко используется в кластерном анализе с использованием коэффициентов сходства по Жаккару, Съёренсену и т.п. Поэтому представляется целесообразным выполнить расчет индикаторных индексов для отдельных видов на основе частот их встречаемости в пробах различных классов.

Сформируем матрицу гидробиологических наблюдений X в альтернативной шкале измерений, положив все ее элементы равными 1, если значение численности i-го вида в j-й пробе не меньше некоторого заданного порога (N_ij ³ q ), и 0 в противном случае. Эта операция позволяет нам абстрагироваться от абсолютных величин обилия видов, нестационарных по своей природе, и использовать в качестве байесовских оценок условных вероятностей более устойчивые и унифицированные значения частот встречаемости.

На первом этапе с использованием примеров обучающей выборки, для которых известны значения классов качества вод у₁, у₂, …, y_p , сформируем:

• матрицу P оценок условных вероятностей класса k для вида i: p_ik = n_ik / n_i ;(8.36)
• вектор-столбец оценок априорной вероятности вида i : p_i = n_i / n ;(8.37)
• вектор-строку оценок априорной вероятности класса k : p_k = n_k / n ,(8.38)

Решающее правило, как и в предыдущем случае, представляет собой функциональный преобразователь, на выходе которого по априорным вероятностям и измерению x_r вычисляется вектор t результативных оценок t₁, t₂,…,t_p. Суждение о принадлежности пробы x_r к водоему k-й категории может быть вынесено, например, если t_k – наибольшая оценка из t₁, t₂,…,t_p. Простейшим вариантом расчета оценок t_k является усреднение значений условных вероятностей для всех m_r видов, встретившихся в тестируемом измерении:

т.е. вероятность принадлежности пробы к k-му классу есть средняя вероятность класса k для всех видов, найденных в пробе.

Формула "простых средних вероятностей", традиционная для многих работ в этом направлении [Джурс, Айзенауэр, 1977; Авидон с соавт., 1978], часто дает вполне удовлетворительную точность. Однако ряд теоретико-вероятностных предположений заставляют усомниться в конечной оптимальности аппроксимации первого порядка. Поэтому другим вариантом усреднения вероятностей p_ik является использование известного углового преобразования Фишера [Урбах, 1964], при котором частотные оценки вероятностей имеют ошибку, почти не зависящую от самих вероятностей. Используемая при этом функция arcsin (2P - 1) ведет себя почти так же, как используемая в байесовских подходах функция ln(P/(1-P)), но, в то же время, при P, близких к 0 или 1, не вырождается, устремляясь в бесконечность, а ограничена ± p /2. На этих принципах основана работа компьютерной системы PASS [Poroikov et al., 2000], прогнозирующей спектр биологической активности химических соединений по их структурным формулам (адрес Интернет-версии: http://www.ibmh.msk.su/PASS). Тогда результирующие оценки принадлежности к классам некоторого тестируемого измерения x_p выражаются через условные вероятности p_ik и априорные вероятности классов p_k следующим образом:

где J_i’ – индикаторный вес вида i, который мы интерпретировали как величину, обратную "шенноновской" энтропии распределения вероятностей по классам:

Сделаем основные исходные предположения относительно природы индикаторных валентностей R_ik, оценивающих сродство (т.е. резистентность или экологическую значимость) i-го вида гидробионтов в k-м классе качества вод. Будем считать, что их величина является некоторой сложной математической функцией F от следующих факторов:

• n_i – количество измерений i-го вида, на основе которых вычислена R_ik. С позиций классической статистики, чем больше n_i, тем выше надежность и устойчивость рассчитываемых оценок. С другой стороны, гидробиологический опыт свидетельствует о том, что целостная картина наиболее характерных черт биоценоза определяется, в первую очередь, редкими видами, в то время, как массовые виды-эврибионты составляют некоторый "размытый фон";
• v_k – относительная вероятность оцениваемого класса. Поскольку частота встречаемости наблюдений различных классов неодинакова, то разумно предположить, что оценки R_ik для "редких" классов должны обладать некоторыми преимуществами при их сопоставлении. Примем в качестве конкретной дефиниции этой оценки класса величину n/n_k, обратную априорной вероятности k-го класса;
• J_i – индикаторная значимость вида i, которая, как было показано выше, формально может быть интерпретирована как величина, обратная к "шенноновской" энтропии распределения оценок по классам: ;(8.43)
• k – порядковый номер класса. Поскольку биоразнообразие и обилие гидробионтов существенно уменьшается с увеличением номеров градаций качества воды, разумно предположить, что некоторым приоритетом должны обладать оценки классов, близких к p;
• a_ik – собственно индикаторные валентности или относительный вклад вида i в развитие биоценозов, характерных для каждого k-го класса качества, которые мы будем рассчитывать по несколько видоизмененной формуле (8.32), в которой учтем как численность, так и биомассу видов (в мг/м²), преобразовав их произведение в логарифмическую шкалу:

R_ik = a_ik (n_i) ^a (n/n_k) ^b [3.33/(h_i +1)] ^g k ^l , (8.45)

где a , b , g и l – параметры модели, т.е. некоторые специально подобранные коэффициенты, 3.33 – константа, равная максимально возможному значению энтропии Шеннона при распределении валентностей по p классам (p = 5).

и относить экзаменуемый вектор наблюдений к тому классу, которому соответствует максимальная оценка t_k из всех вычисленных.

Очевидно, что значения компонентов матрицы валентностей R, а, следовательно, и достоверность процесса распознавания, зависит от величин настроечных коэффициентов a , b , g и l , которые регулируют долю участия каждого из пяти перечисленных факторов в формировании оценок R_ik. Поэтому естественна постановка следующей оптимизационной задачи: “необходимо найти такие a , b , g и l , которые сводят к минимуму число ошибок классификации при экзамене всех m примеров обучающей выборки в режиме скользящего контроля:

Решение этой экстремальной задачи не может быть представлено в аналитическом виде или, по крайней мере, сведено к системе конечных линейных уравнений. Поэтому минимизация функционала D² может быть выполнена только специальными численными методами нелинейного программирования. Для нахождения оптимальных значений коэффициентов a , b , g и l воспользуемся модифицированным симплексным методом Нелдера-Мида [Банди, 1988; Гайдышев, 2001]. Этот метод, обеспечивающий достаточно быструю сходимость к экстремуму, не использует производные, что выгодно отличает его от других градиентных методов оптимизации. Основная идея симплекс-метода заключается в том, что по известным значениям целевой функции D² в вершинах выпуклого многогранника (симплекса) вычисляется вектор градиента, в направлении которого требуется сделать следующий шаг, чтобы получить наибольшее уменьшение критерия D². По новым точкам строится следующий симплекс и т.д., то есть, образно выражаясь, многогранник постепенно "перекатывается, двигаясь под горку" и, при этом, каждый раз находится наилучшее направление движения. Модификация Нелдера-Мида предполагает автоматическое изменение размеров ребер симплекса, что обеспечивает ему эффективное преодоление "оврагов" и быстрое движение по пологим спускам.

Сформируем матрицу Х (n = 542 , m = 546), содержащую информацию о 542 гидробиологических пробах, взятых на малых реках Самарской области. Элементами матрицы наблюдений являются значения численностей особей по 546 видам макрозообентоса, причем, диапазон частот встречаемости различных видов варьируется от 1 до 226 (p_j = n_j / n = 0.00184 ¸ 0.417). Каждое измерение отнесем к одному из классов качества вод по гидрохимическим показателям от 2 до 6 (p = 5). Априорные вероятности классов p_k = n_k / n варьируются от 0.103 для класса 2 до 0.356 для класса 4.

Алгоритм 1. Используем формулу П.А. Цимдиня (8.32) и методы анализа сапробных валентностей для прогнозирования класса качества воды. Индикаторные веса будем вычислять по приближенной формуле, связывающей J_i с мерой энтропии по Шеннону Н:

J_i = 0.75H³ - 2.8H² + 0.63H + 5 , где (8.48)

и дающей хорошую аппроксимацию весов по Сладечеку (коэффициент детерминации R² = 0.943).

Для некоторых видов зообентоса рассчитанные значения индикаторных весов J_i и индикаторных валентностей a_ik для классов качества воды (k = 2, 3, 4, 5, 6) представлены в табл. 8.12. Для первых пяти видов дана более подробная информация, позволяющая провести детальный анализ механизма расчета.

Можно отметить следующие свойства оценок a_ik, вычисленных по формуле (8.32), не комментируя степень их позитивности или негативности:

• индикаторные валентности зависят только от соотношения групповых средних численности и никак не связаны с абсолютными значениями обилия: вид, встречающийся в единичных экземплярах, будет получать такие же оценки, что и вид, численность которого насчитывает тысячи особей;
• как и любые оценки, основанные на средних, валентности сильно зависят от характера распределения данных, наличия аномальных “выбросов” данных и проч.; так для вида Polypedilum scalaenum большое значение валентности 4-го класса (а₄ = 8.5) во многом определяется одним измерением с N = 17840 экз/м²;
• наибольшим преимуществом в формировании оценок обладают редкие виды (в том числе, виды, встретившиеся только в одной пробе, например, Eukiefferiella minor – они автоматически приобретают максимальный вес 5 и максимальную валентность).

Если ориентироваться на максимальные значения обобщенных индикаторных валентностей t_k, представленные в табл. 8.13, то при экзамене безошибочно выбираются t₂ = 0.53 и 2 класс качества.

Чтобы использовать формулу индекса сапробности в редакции И.К. Тодераша, необходимо предварительно обозначить параллель между зонами сапробности и классами качества вод по ГОСТ 17.1.3.07–82, для чего воспользуемся табл. 4.7 раздела 4.6, где это соответствие установлено: × t₂ = × t_о для олигосапробной, t₃ = tb для b -мезосапробной, t₄ = ta для a -мезосапробной и × t₅ = t_p для полисапробной зон. Подставив рассчитанные средневзвешенные сапробные валентности в формулу (8.35), получим для станции 5 р. Сок индекс сапробности:

согласно которому также уверенно, но уже ошибочно (!), тестируемый водоем относится к классу 3 (т.е. b -мезосапробной зоне с диапазоном индекса сапробности S_R от 1.5 до 2.5).

1. Подтверждается предположение о принципиальной математической несостоятельности подхода Пантле-Букка и всей техники вычисления индексов сапробности. Попытка выразить через "сапробный центр тяжести" некоторую функцию распределения вероятностей принадлежности измерения к 4 зонам сапробности (или 6 классам качества) неизбежно приводит к усреднению факторов видовой структуры биоценоза, а, следовательно, к сильному смещению прогноза в диапазон индекса сапробности от 2 до 3. В частности, по методу 1.1 (табл. 8.14) 371 наблюдение из 542 было отнесено к "среднему" классу 4 (т.е. a -мезосапробной зоне), причем в 178 случаях это было сделано ошибочно.
2. Вектор значений валентностей Зелинки-Марвана T более полно отражает индикаторное значение видов в сообществе. Принадлежность пробы x_p к водоему k-й категории целесообразней осуществлять по max t_k – наибольшей оценке средневзвешенные валентности из {t_x, t_о, t_b , t_a , t_p} .
3. Выбросы обучающей выборки, т.е. аномально высокие значения численностей по некоторым видам в отдельных пробах, могут сильно сказываться на устойчивости расчета индикаторных валентностей. Этим можно объяснить относительно большое для метода 1.2 количество "грубых" ошибок прогноза на два класса и более. При использовании в методе 1.3 предварительно логарифмированных значений численностей результаты можно назвать вполне стабилизировавшимися. Для сравнения приведем значения индикаторных валентностей, полученных по методу 1.3 для вида Polypedilum scalaenum (Sch.) , которые сильно отличаются от представленных в табл. 8.12: A = {0.5; 3.2; 5.1; 0.8; 0.5} при J = 1.6.
4. Весьма неудовлетворительными оказались результаты экзамена для проб, взятых в загрязненных водоемах класса 5 и, особенно, 6, на которые пришлась преимущественная доля ошибок. Сказывается, с одной стороны, некоторая жесткость санитарно-гигиенического подхода к оценке класса качества по гидрохимическим показателям, когда по некоторому лимитирующему фактору, например, концентрации поверхностно-активных веществ, водоем относится к 6 классу, что не мешает развиваться структурно деформированному, но количественно полноценному сообществу гидробионтов. С другой стороны, ошибки определяются и чисто статистическими эффектами: то небольшое количество видов-эврибионтов, обычно характерное для грязных водоемов, недостаточно для точной его идентификации, поскольку эти виды имеют невысокие индикаторные веса J и валентности, вносящие равномерный вклад в средневзвешенные оценки t_k.

Алгоритм 2. Используем в качестве индикаторных индексов оценки вероятности встречаемости видов. Результаты экзамена примеров обучающей выборки для двух вариантов: по формуле "простых средних вероятностей" и с использованием углового преобразования Фишера приведены в пунктах 2.1 и 2.2 табл. 8.14.

Алгоритм 3. Выполним расчет индикаторных валентностей, обеспечивающих минимум ошибок классификации. В качестве начальных приближений для полной модели

выберем, по априорным соображениям, наиболее ожидаемые значения a = 0.2, b = 0, g = 1 и l = 0.5. В ходе симплекс-процедуры по методу Нелдера-Мида было просчитано 160 вариантов матрицы R размерностью 546´ 5 и для каждого варианта найдено число ошибок классификации D², пока, наконец, не было найдено оптимальное решение: a = - 0.52, b = 0.41, g = 1.21, l = 0.68, т.е. расчетная формула приобрела вид:

Значения полученных коэффициентов l , b и g полностью подтверждают наши исходные предпосылки, в то же время как отрицательная величина коэффициента a приводит к нетрадиционному для статистики, но важному для биологии выводу о том, что основными индикаторами состояния экосистем являются редкие виды.

Поскольку переусложнение расчетной модели так же вредно, как и ее недоусложнение, оценим степень вклада каждого из перечисленных выше параметров. Для этого выполним серию расчетов матрицы оптимальных оценок R по моделям разной степени сложности: по полной четырехпараметрической модели и по упрощенным моделям, в которых поочередно элиминировались один или несколько факторов, т.е. значения параметров a , b или l априори принимался равным нулю.

Полученные результаты представлены в табл. 8.14 строками 3.1-3.6. Серия расчетов с исключением из общей формулы для валентностей R отдельных факторов дает уверенное основание полагать, что все компоненты модели (8.45) являются информативными для прогноза класса качества вод, поскольку снижение эффективности распознавания при элиминации любого из коэффициентов оказывается весьма существенным. Однопараметрическая модель оценок 3.6, учитывающая только такой фактор, как уровень доминантности индикаторных валентностей (т.е. индикаторный вес J_i в понимании Зелинки-Марвана), методически полностью соответствует модели 1.3 и отличается от нее лишь использованием комбинированного показателя обилия (N× B)^0.5 вместо численности экземпляров зообентоса N.

Принципиальное отличие рассчитанных индикаторных валентностей от традиционных валентностей Зелинки-Марвана заключается в том, что для последних вводится жесткое условие нормировки – сумма сапробных валентностей должна быть равна 10. Нам представляется, что введение этого условия не связано с каким-то другим содержательным смыслом, кроме стремления непременно пересчитывать оценку по валентностям во вторичные по идеологии и нерезультативные по технике индексы сапробности Пантле-Букка. Достаточно отказаться от этого условия, чтобы получить другую, гораздо более привлекательную возможность – сравнивать между собой отдельные виды по их индикаторной значимости в данной зоне сапробности или водоемах определенного класса качества. Если сопоставить для отдельных видов характер распределения вычисленных нами значений R_ik по классам и сапробных валентностей, взятых из литературных источников (см. табл. 8.15) то можно усмотреть неплохое соответствие оценок для чистых водоемов, в то время как виды, объявленные классическими полисапробами, в наших региональных условиях оказались эврибионтами и не набрали высокой индикаторной значимости.

Наконец, как отмечалось выше, любая естественно-научная теория должна выполнять, как минимум, две функции: "объяснения" и "прогнозирования" наблюдаемых феноменов [Розенберг, 1988; Розенберг с соавт., 1999], причем для сложных систем объединение в одной модели этих функций невозможно. Индикаторные валентности, выборочно приведенные в табл. 8.16, были рассчитаны нами исключительно для выполнения конкретной задачи – обеспечить минимум ошибок прогноза класса качества воды и изначально не предназначались для "объяснения" (например, формирования каких-либо научных гипотез о роли того или иного вида в общей системе классификации водоемов).

Дальше

Назад

Начало

Конец

Список