Дальше

Назад

Начало

Конец

Список

Пусть зависимая переменная Y, отражающая качество вод, принимает одно из двух значений. Класс 1 может, например, трактоваться как "Чисто", "Норма" или "Относительно удовлетворительная ситуация", а 0 – как "Грязно", "Патология", "Чрезвычайная экологическая ситуация" и т.п. В соответствии с этой классификацией, таблица гидробиологических наблюдений, соответствующая обучающей выборке, разделяется на два конечных подмножества векторов: и . Элементы x_i , i = 1, 2,…, m, векторов Х и соответствуют варьируемым переменным, в состав которых могут входить значения обилия i-го вида в пробе, а также всевозможные обобщенные индексы и гидробиологические показатели.

Необходимо найти такое уравнение оптимальной гиперплоскости в m-мерном пространстве признаков

которая разделяет точки множеств Х и и, в то же время, наиболее удалена от выделяемых областей – выпуклых оболочек каждого из этих множеств. Геометрическая интерпретация задачи разделения двух подмножеств точек плоскостью (точнее, прямой линией) для случая двух переменных представлена на рис. 8.6.

Пусть в некотором пространстве существует две (или несколько) областей, не имеющих общих точек, и что измерения – точки из этих областей. Каждой такой области можно приписать наименование, т. е. дать название, соответствующее образу. Сами эти области заранее не определены, т. е. нет каких-либо сведений о расположении их границ или правил определения принадлежности точки к той или иной области.

Класс R-моделей распознавания образов, использующих принцип разделения, основан на гипотезе полимодальности плотности распределения объектов в исходном признаковом пространстве. Иными словами, объекты группируются в "сгустки" точек, которые могут быть разделены друг от друга некоторой гиперповерхностью и при этом достигается приемлемая ошибка классификации.

При использовании методов, основанных на предположениях о виде решающих функций, исследователь, прежде всего, обращается к линейным моделям. Это обусловлено высокой размерностью пространства признаков, характерной для реальных задач, вследствие чего при повышении степени полиноминальной решающей функции имеет место огромный рост числа ее членов при проблематичном сопутствующем повышении качества распознавания. Как отмечалось ранее, свойства линейных диагностических моделей, в которых изучаемый показатель представлен взвешенной суммой исходных признаков, хорошо изучены. Результаты этих моделей при соответствующем нормировании легко интерпретируются как расстояния от исследуемых объектов до некоторой гиперплоскости в пространстве признаков или, что эквивалентно, как проекции объектов на некоторую прямую линию в данном пространстве.

Рассмотрим метод нахождения разделяющей гиперплоскости, т.е. функции из класса линейных по параметру решающих правил. Наиболее конструктивным алгоритмом в этой области является метод обобщенного портрета, строгое математическое обоснование которого выполнено В.Н. Вапником и А.Я. Червоненкисом [1974]. Построение разделяющей поверхности идет здесь следующим образом. Ищется такое направление j ₀ в полном пространстве признаков, чтобы проекции выпуклых оболочек точек обучающей выборки первого и второго класса на это направление были максимально удалены друг от друга:

Как показано на рис. 8.6, оптимальная разделяющая плоскость проводится перпендикулярно выбранному направлению j ₀ через середину отрезка, соединяющего проекции разделяемых областей:

Эта разделяющая гиперплоскость отделяет точки множества Х, для которых xj ₀ > c₀, от точек множества , для которых xj ₀ < c₀, а ее направляющий вектор j ₀ и называется, собственно, “обобщенным портретом”.

Основным достоинством методов, основанных на предположениях о классе решающих функций, является ясность математической постановки задачи распознавания, как задачи поиска экстремума. В частности, нахождение оптимальной разделяющей гиперплоскости по методу обобщенного портрета представляет собой задачу квадратичного программирования, решение которой опирается на теорему Куна-Таккера. При этом ищется точка a ₀, соответствующая положительному максимуму квадратичной формы

, где .(8.52)

Особая ситуация возникает, когда безошибочное разделение векторов невозможно. Это бывает, если классы трангрессируют, а проекции их выпуклых оболочек перекрываются, либо "зазор" между классами r _min меньше некоторого заданного значения r ₀. В этом случае из обучающей выборки исключается вектор, наиболее препятствующий успешному разделению. Затем, если разделение все еще невозможно, из оставшегося множества удаляется следующий малоинформативный элемент. Поиск продолжается до тех пор, пока либо задача не будет решена, либо число исключенных точек не превзойдет заданную долю общего числа векторов в обучающей выборке. В случае успешного нахождения обобщенного портрета, оставшаяся совокупность векторов называется информативной.

Оценка скользящего контроля формируется при работе алгоритма, который состоит в том, что из обучающей выборки поочередно удаляются описания одного объекта, на оставшемся материале строится решающее правило и по нему классифицируется исключенный объект. Такая процедура повторяется (n - 1) раз. Доля правильных опознаний при скользящем контроле является несмещенной оценкой вероятности ошибки на всей генеральной совокупности и, следовательно, наиболее репрезентативной оценкой качества модели. Однако этот метод является и самым трудоемким, так как требует многократного построения правила распознавания.

В отличие от параметрических методов распознавания, успешность применения метода обобщенного портрета мало зависит от рассогласования теоретических представлений о законах распределения объектов в пространстве признаков с эмпирической реальностью. Метод позволяет использовать любой способ представления информации – непрерывный, когда координаты вектора х могут принимать любые значения, и дискретный, которым удобно кодировать признаки, измеренные в порядковой шкале. Использованный нами программный комплекс FOP [Алгоритмы и программы.., 1984] предполагает предварительное преобразование всего исходного пространства признаков в бинарную форму, в результате чего область изменения каждого признака x_i разбивается на k интервалов с произвольным числом градаций (9 ³ k ³ 2). Далее признаку x_i ставится в соответствие k бинарных признаков z_ij по традиционному правилу:

• z_ij = 1, если значение x_i лежит в j–м интервале;
• z_ij = 0, в противном случае.

где m – число исходных признаков, l _ij – настраиваемые коэффициенты, связанные кусочно-постоянными функциями с элементами вектора обобщенного портрета j , b – свободный член уравнения. С использованием этого уравнения решающее правило заключается в расчете расстояния h в многомерном пространстве от тестируемого объекта z^э до разделяющей гиперплоскости и классификации наблюдения по следующей простой процедуре: если , то экзаменуемый вектор z^э относится к классу 1, в противном случае – к классу 0.

В отличие от примеров предыдущих разделов, уравнения обобщенного портрета рассчитаем на основе опорного множества специально подобранных примеров с заранее известным откликом. Для формирования обучающей выборки из общего массива наблюдений малых рек Самарской области выделим: зону (т.е. область образа) с чрезвычайной экологической ситуацией (43 станции класса 0) и зону относительно экологической стабильности (43 станции класса 1).

Сформированная таким образом компактная обучающая выборка содержит n = 160 векторов х с исходными данными, из которых 70 было отнесено к классу ОУС и 90 к классу ЧЭС. На примере этой обучающей выборки выполним три варианта расчетов.

Вариант 1. Рассчитаем уравнение оптимальной разделяющей гиперплоскости с использованием следующих 5 основных индексов и обобщенных количественных показателей зообентоса: числа видов S в каждой пробе, суммарной численности N_s (экз./м²) и биомассы В_s (г/м2 ), информационного индекса Шеннона Н и биотического индекса Вудивисса V. Область значений каждого из этих признаков разобьем на диапазоны (градации), причем границы диапазонов выберем оптимальным образом в соответствии с критерием равной заселенности диапазонов (см. раздел 6.3). Получим уравнение разделяющей гиперплоскости со свободным членом b = 2.6 и коэффициентами l _j которые представлены в таблице 8.17.

На ст. 3 р. Байтуган в пробе от 17 июля 1991 г. было определено 20 видов бентоса (N = 3360 экз./м², B = 3.3 г/м², H = 3.29, V = 8). Используя коэффициенты табл. 8.17, имеем:

что позволяет уверенно классифицировать экосистему этого участка реки как экологически стабильную (класс ОУС). Аналогично, на ст. 8 (в пределах с. Байтуган) той же реки в составе бентофауны зарегистрировано 6 видов (N = 490 экз./м², B = 1.06 г/м², H = 1.71, V = 2), что соответствует оценке

Сравнительный анализ коэффициентов уравнения разделяющей гиперплоскости по их абсолютной величине дает возможность утверждать, что основными показателями, определяющими качество экосистем, остается видовое разнообразие, выраженное через обилие (число видов S) и равномерность распределения (индекс H). В то же время, значения биомассы В вносят несущественный вклад в оценку качества экосистемы, а тенденция монотонного возрастания весовых коэффициентов l _j по мере увеличения численности организмов при N > 3700 резко меняет свой знак на противоположный (т.е. в сторону экокризисных явлений), что является признаком серьезных структурных нарушений в водоеме. Имеет свои гносеологические корни и феномен явной нелинейности вклада обоих индексов – Шеннона H (значения до 1.36) и Вудивисса V (значения свыше 6).

Вариант № 2. Альтернативной моделью распознавания классов ОУС и ЧЭС является уравнение гиперплоскости, основанное на видовом составе зообентоса. При ее расчете используем следующие необязательные допущения:

• показатели обилия преобразуем в бинарные векторы, компоненты которых z_ij = 1, если j-й вид зафиксирован в i-м наблюдении, и z_ij = 0, в противном случае (напомним, что сам метод позволяет для каждого вида использовать до 9 градаций численности);
• список видов объектов обучающей выборки ограничим 166 видами семейства хирономид (отряд Diptera, сем. Chironomidae), в связи с отличными биоиндикационными свойствами последних и надежностью полученных нами натурных данных.

В ходе моделирования используем метод последовательных включений с исключениями, и в результате работы пошаговых процедур из всего списка хирономид отберем 68 видов, обладающих наилучшей классификационной значимостью (предполагается, что остальные 98 видов либо в равной мере присутствуют в водоемах обеих категорий, либо низкая частота их встречаемости не дает оснований для включения в решающее правило). В табл. 8.18 приведены верхняя и нижняя часть списка видов, отобранных в результате алгоритма селекции и отсортированных по убыванию значений коэффициентов l , а позиции 20-49 с l , близкими к 0, опущены.

Численные значения l , по нашему мнению, имеют вполне обоснованный смысл индикаторных индексов "экологического благополучия" (при l >0) или "экологического кризиса" (при l <0). Например, наличие в составе донных сообществ видов Cladotanytarsus mancus (l = +114), Cricotopus bicinctus (l = +99) и других видов левой части табл. 8.18 свидетельствует о значительной вероятности отнесения водоема к "чистому" классу ОУС, а вида Procladius choreus (l = -133.8) и других, представленных в табл. 8.18 справа, – к "грязному" классу ЧЭС.

Вариант № 3. Комбинированную модель, основанную на полном признаковом пространстве, получим с использованием всего набора переменных: из 5 индексов и обобщенных показателей обилия зообентоса и 166 признаков видовой структуры.

По внутреннему критерию вне конкуренции оказались модели 2 и 3, включающие видовой состав и обеспечивающие почти 100% разделение гиперплоскостью классы "ЧЭС" и "ОУС". Однако экстраполяционные свойства этих моделей, оцененные по результатам скользящего контроля, несколько уступили по надежности модели, основанной на использовании обобщенных структурных показателей. Этот результат вполне соответствует сложившимся представлениям о недостаточной устойчивости моделей, построенных на основе обширных, разреженных матриц.

Рис. 8.7. Схема расположения станций наблюдений на р. Чапаевка и диаграмма распределения индекса экологического благополучия h по руслу реки (на диаграмме по оси абсцисс – станции р. Чапаевка, по оси ординат – значения h )
Показана аппроксимирующая кривая тренда, соответствующая полиному третьего порядка.

• состояние в верхнем течении реки (ст.1–10), где при отсутствии промышленного загрязнения наблюдаются процессы евтрофирования под влиянием сельскохозяйственной нагрузки, может быть охарактеризовано как переходное от "стабильного" к "критическому";
• в районе г. Чапаевска (ст.13 и ниже) в зоне сброса промышленных сточных вод наблюдается состояние отчетливого экологического кризиса;
• в устье реки (ст. 23) кризисное состояние несколько стабилизируется за счет разбавления относительно чистыми водами Саратовского водохранилища.

Как уже отмечалось выше, разделяющая гиперплоскость делит совокупность измерений только на 2 класса. Однако не представляет методологических трудностей осуществить пересчет диапазона значений расстояния h в любую из широкоупотребительных шкал оценки качества вод: 6-разрядную шкалу по Былинкиной и Драчеву, 9-разрядную систему по Оксиюк и Жукинскому или любую другую (см. раздел 3.4). Для этого достаточно составить репрезентативную выборку из примеров обучающей последовательности, каждому из которых будет поставлен в соответствие нормативный класс качества по выбранной шкале, и определить коэффициенты уравнения регрессии такого пересчета.

Дальше

Назад

Начало

Конец

Список