Выше рассматривались алгоритмы нахождения наилучшей функции F(t, a*) из конечного множества моделей-претендентов, каждая из которых имеет уже жестко заданную структуру. Другим вариантом структурной идентификации является построение модели априори неизвестной конфигурации из отдельных фрагментов-"кирпичиков" в ходе последовательной (шаговой) процедуры. Прежде чем затронуть теоретические аспекты сущности процесса самоорганизации, рассмотрим ставший уже стандартным алгоритм поиска наилучшего уравнения регрессии шаговым методом.

Пусть структура состоит из конечного множества элементов x = ( x₁, x₂, ..., x_m ) - переменных величин, значение которых распределено во временном пространстве t. В многофакторном случае в качестве х_i рассматриваются независимые переменные (и их функциональные преобразования), сопряженно связанные с откликом y. При анализе одномерных временных рядов вектор x можно заполнить различными функциями от времени. Для определенности рассмотрим следующий набор из 8 функций:

Построение регрессионной модели предполагает выбор ее оптимальной или субоптимальной структуры, т.е. селекцию информативных факторов из множества сгенерированных переменных. Иными словами, в уравнение регрессии включается только то минимальное подмножество входных переменных x, которое без существенной потери информации позволяет объяснить имеющийся статистический разброс. В качестве внешнего дополнения используется пороговое значение частного критерия Фишера, которое на каждом шаге включения очередного фактора в модель (или исключения его из модели) играет роль критерия регуляризации.

Метод "включений с исключениями", впервые описанный в работе М.А.Эфроимсона (Efroimson, 1960) и базирующийся на общей идее метода наименьших квадратов, позволяет с заданной надежностью выбрать из полной матрицы стандартизированных нормальных уравнений наилучшую невырожденную подматрицу, т.е. выбрать модель наиболее оптимальной структуры.

Сущность метода заключается в шаговом преобразовании значений R_ij корреляционной матрицы, i = j = 1, ..., (m+1). Выбор первой переменной для включения в модель осуществляется по максимальной из статистик (Дрейпер, Смит, 1974):

т.е. в модель вводится переменная x₁, которая имеет наибольший по абсолютной величине коэффициент парной корреляции с откликом R_1q. При этом процедура включения выполняется, если справедливо неравенство для последовательного F-критерия:

где F_o - пороговое значение F-критерия, задаваемое исследователем, d - число степеней свободы, равное на первом шаге (m -1).

После включения переменной x₁ в уравнение регрессии, элементы корреляционной матрицы пересчитываются по формулам прямого преобразования, чтобы исключить влияние уже учтенного фактора:

Описанная процедура повторяется многократно, пока статистическая значимость включения по F-критерию на каждом шаге превышает заданный порог F₀.

После очередного расширения модели анализируется взаимная коррелированность отобранных переменных: если их взаимосвязь существенна, то лишние факторы, вносящие наименьший вклад, из модели исключаются. В этом случае исключению подлежат те переменные, для которых вычисленное значение частного F-критерия меньше F_о (при числе степеней свободы d = m - g - 1, где g - текущее число факторов, вошедших в модель).

Вычисления прекращаются, если не осталось ни одной переменной, для которой вычисленное значение последовательного F-критерия превысило бы заданный порог.

Использование шаговой процедуры на примере временного ряда с откликом NH₄⁺ позволило выделить три следующие модели-претендента:

• аддитивная модель - модель R₃ - на базе расширенного набора из 44 переменных (8 исходных функций от t плюс 36 всех их возможных парных произведений):

Y(t) = 536.9 - 150.8 (e ^t/100 )² + 153 (ln t)² + 268.2 ln t e ^t/100 - 379.1 t^0.5 arctg t ,

• мультипликативная модель - модель R₄ - в расширенном пространстве переменных:

Во всех случаях использовалось пороговое значение F-критерия F_о = 1.5.

Дальше

Назад

Начало

Конец

Список