Взаимный спектр, или кросс-спектр определяется для пары стационарных временных рядов и характеризует их взаимодействие на различных частотах. Кросс-спектральный анализ является обобщением спектрального анализа для двухмерного случая и сводится к вычислению двух спектральных функций (Гренджер, Хатанака, 1972):

;

; .

Взаимный спектр является комплексно-значной функцией и связан с теоретической кросс-корреляционной функцией преобразованием Фурье. Модуль взаимного спектра называют спектром мощности, а аргумент - фазой. Для оценки взаимного спектра применяются методы, аналогичные методам оценки обычного спектра: сглаживание выборочной взаимной периодограммы, например с помощью окна Парзена.

Кросс-спектральный анализ определяет наличие или отсутствие существенных гармонических составляющих в исследуемых рядах динамики и оценку тесноты связи между этими рядами. Кросс-спектр временных рядов NCAL и NROT представлен на рис. 4.3.

Когерентность интерпретируется как квадрат коэффициента корреляции и ее значения варьируются в интервале от 0 до 1.

Аналогом коэффициента кросс-корреляции при оценке связи между гармоническими составляющими с учетом их временного сдвига является сдвиг фаз гармоник:

При кросс-спектральном анализе полезно строить диаграммы когерентности и сдвига фаз (рис. 4.4 и 4.5), так как анализ закономерностей этих показателей в различных частотных точках дает весьма ценную дополнительную информацию о взаимодействии процессов.