ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Дальше

Назад

Начало

Конец

Список

2.3.4. Спектральный анализ

Спектральный анализ (Бартлетт, 1958; Хеннан, 1964; Венцель, 1969; Пугачев, 1968; Дженкинс, Ваттс, 1971) рядов динамики проводится с целью определения основных гармонических составляющих случайного процесса путем выделения синусоидальных компонент на различных частотах.

Значения спектра или спектральной плотности представляют собой разложение полной дисперсии временного ряда по различным частотным составляющим и оцениваются как косинус-преобразование Фурье выборочной автоковариационной функции по следующей формуле (Гренандер, 1961; Вентцель, 1969; Гренджер, Хатанака, 1972):

где w _j - частоты, для которых определяются значения спектра, j = 0, 1, ..., m, g _k - автоковариационная функция, определяемая по формуле

l _k - веса значений автоковариационной функции, зависящие от числа частот m.

Число исследуемых частот равно числу временных сдвигов для автоковариационной функции и зависит от длины временного ряда. Обычно рекомендуют число временных сдвигов брать равным n/5 при числе уровней ряда динамики не менее 100.

Для определения l _k можно использовать, например, оценки Парзена (Гренджер, Хатанака, 1972):

Спектральная плотность является непрерывной неотрицательной функцией и связана с теоретической автокорреляционной функцией r (k) формулой

I(w ) = D [1 + 2 r ₁ cos(p w ) + 2 r ₂ cos(2 p w ) + ... ],

где D - дисперсия ряда. Обратное соотношение записывается в виде интеграла. Таким образом, автокорреляционная функция и спектральная плотность математически эквивалентны, поскольку являются взаимными трансформантами. Разница - лишь в особенностях наглядного представления.

В качестве оценки спектра проще всего использовать сглаженную периодограмму (часто называемую просто спектрограммой). Сама периодограмма, или выборочный спектр, является несостоятельной оценкой спектральной плотности, однако ее значения для различных частот асимптотически независимы, благодаря чему появляется возможность построения состоятельных оценок.

Вид спектограммы тесно связан со структурой ряда и является хорошим средством для выявления скрытых периодичностей. Например, теоретический спектр "белого шума" - константа. Для нестационарных рядов с гладким трендом периодограмма содержит резкий подъем в области низких частот, связанный с попыткой найти детерминированную периодичность с очень большим периодом. Наличие сезонных эффектов проявляет себя в виде острых узких пиков в спектрограмме на соответствующей частоте (а при несимметричной форме сезонной волны - и на кратных частотах), хотя подобные пики могут появиться и случайным образом.

Рассмотрим примеры графиков спектральной плотности, полученные сглаживанием периодограммы с помощью окна Парзена:

на рис. 2.18 представлена спектрограмма ряда FE , характеризующегося cущественным трендом и определенным сезонным фактором с периодичностью в один год (через 6 месяцев вегетационного периода);

ряд ПОВТОР со спектром на рис. 2.19 не содержит гладкого тренда, но имеет выраженную годичную периодичность;

анализ спектра ряда NROT на рис. 2.20 дает возможность высказать предположение об ощутимом многолетнем тренде и периодичности через два месяца для ротаторий;

наконец, совершенно фантастична спектрограмма ряда РАСХОД на рис. 2.21.

Дальше

Назад

Начало

Конец

Список